ポアソン多様体
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多様体 M がポアソン多様体（ポアソンたようたい、英: Poisson Manifold）であるとは、M 上の C∞ 級関数全体のなすベクトル空間を C∞(M) と表すとき、次の性質を満たす写像 [math] \{ \cdot, \cdot \} \colon C^{\infty}(M) \times C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(M) [/math] が存在することをいう。
- [math] \{ \cdot,\cdot\} [/math] は、[math]\mathbb{R}[/math]-双線形形式である。
- [math]\, \{ f,g \} = -\{ g,f \} \,[/math]
- [math]\, \{ \{ f,g \} , h\} + \{ \{ g,h \} , f\} + \{ \{ h,f \} , g\} = 0 \,[/math] :ヤコビ律
- [math]\, \{ f, gh \} = g\{ f,h \} + h\{ f,g \} \,[/math]
このとき、写像 [math] \{ \cdot, \cdot \} \colon C^{\infty}(M) \times C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(M) [/math] を M 上のポアソン構造、もしくはポアソン括弧と呼ぶ。
例
[math]\, (M,\omega) \,[/math] をシンプレクティック多様体とする。このとき、[math] M [/math]上にポアソン構造が次のようにして定義できる。
- [math]\, \{ f,g \} = \omega( X_{f}, X_{g}) \,[/math]
ここで、[math]\, X_{f}, X_{g} \,[/math] はそれぞれ [math]\, f,g \,[/math] から定まるハミルトンベクトル場である。従って、シンプレクティック多様体はポアソン多様体でもある。しかしながら、ポアソン多様体がシンプレクティック多様体であるとは限らない。
[math](q_{1},\cdots,q_{n},p_{1},\cdots,p_{n})[/math] をダルブー座標とすると、シンプレクティック多様体上のポアソン構造は、
- [math] \{ f,g \} = \sum_{i=1}^{n}\left( \frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{\partial g}{\partial q_{i}} -\frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{\partial g}{\partial p_{i}} \right) [/math]
と書ける。