弧 (幾何学)
幾何学における弧（こ、arc）とは、おおまかには、曲線のつながった一部分のことであるが、より抽象的な概念に一般化される。初等幾何学においては円周の弧を指すことが多く、そのことを明確にしたい場合には円弧と呼ぶ。
元々、日本語としての「弧」は、木の弓またはその形状を意味する。
定義
位相空間論における弧とは、閉区間 [a, b] から位相空間 X への連続写像 γ、もしくはその像のことである[1]。弧状連結の概念を定義する際に現れ、その文脈では道（みち、path）と呼ばれることも多い。
定義において、閉区間を単位区間 [0, 1] に限る場合もあるが、どちらの定義も同等であることが直ちに従う。X として3次元ユークリッド空間 R3 を取れば、その場合の弧とは、空間曲線の連結な一部分であり、日常的な語の意味に近くなる。さらに、γ として全単射であることを要請することが多く、その場合の弧は、「自己交叉を持たず、閉でもなく、始点と終点を持つ曲線」である。
現実世界における具体例として、地球の大圏（あるいは大楕円）の一部は、大圏コースと呼ばれる。
円弧
上記の定義の特別な場合として円弧を得るには、全単射連続写像 γ : [0, 1] → R2 として
[math]\gamma(t)=(r\cos (\alpha (1-t)+\beta t),\,r\sin (\alpha (1-t)+\beta t))\,[/math]
を考えればよい。ここに、r (r > 0) は円の半径、α, β (α < β) は始点および終点の偏角であって、中心角は β − α となる。
半径 r、中心角 θ の円弧の長さ L は
[math]L=r\theta\,[/math]
で与えられる。ただし、角の大きさは弧度法で与えているものとしている。度数法によって、α 度と与えられているならば、θ と α は
[math]\theta=\frac{\alpha}{180}\pi[/math]
の関係にあるため、
[math]L=\frac{\pi r\alpha}{180}[/math]
となる。
脚注
- ↑ 松坂 p. 202
参考文献
- 松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1989年 ISBN 978-4000054249
関連項目
外部リンク
- Margherita Barile and Eric W. Weisstein. “Arc”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。