「線型無関連」の版間の差分
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数学において、体 k のある拡大体 [math]\Omega[/math] (例えば万有体)の中での k 上の代数 A, B は次の同値な条件が成り立つときに k 上線型無関連 (linearly disjoint over k) と言われる:
- (i) [math](x, y) \mapsto xy[/math] から誘導される写像 [math]A \otimes_k B \to AB[/math] は単射である。
- (ii) A の任意の k-基底は B 上線型独立なままである。
- (iii) [math]u_i, v_j[/math] が A, B の k-基底であれば、積 [math]u_i v_j[/math] は k 上線型独立である。
[math]\Omega[/math] のすべての部分代数は整域であるから、(i) ならば [math]A \otimes_k B[/math] は整域(特に被約)であることに注意する。
また次が成り立つ: A, B が k 上線型無関連であることと [math]A, B[/math] によってそれぞれ生成される [math]\Omega[/math] の部分体が k 上線型無関連であることは同値である。(cf. 体のテンソル積)
A, B が k 上線型無関連とする。[math]A' \subset A[/math], [math]B' \subset B[/math] が部分代数であれば、[math]A'[/math] と [math]B'[/math] は k 上線型無関連である。逆に、代数 A, B の任意の有限生成部分代数が線型無関連であれば、A, B は線型無関連である(なぜならば条件は元の有限集合しか含まないからである)。
関連項目
参考文献
- P.M. Cohn (2003). Basic algebra