「交項級数」の版間の差分
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数学、とくに解析学における交項級数(こうこうきゅうすう)または交代級数(こうたいきゅうすう、英: alternating series)とは項の正負が交互に入れ替わる無限級数
- [math]a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\quad (\text{for }\forall n,\ a_n \ge 0.\quad [\text{resp. }a_n \le 0.])[/math]
である。同様の有限級数をしばしば交代和 (alternating sum) と呼ぶ。
例と基本的な事実
交代級数
- [math]\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n}[/math]
は ln 2(=0.69314…)に収束することが知られているが、いっぽう各項の絶対値をとった級数
- [math]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}[/math]
は調和級数としてよく知られた発散級数である。これは絶対収束が、級数が収束するための十分条件だが必要条件ではない(別な言い方をすれば、絶対収束は収束条件としては強すぎる)ことの例でもある。
実数項をもつ交代級数に対しては、収束判定法としてライプニッツによる「数列 {an} が単調減少で 0 に収束するならば級数 ∑ (−1)nan は収束する」というものがある(項が単調増大の場合も全体に −1 を掛けることにより単調減少の場合に帰着されるので、この場合も合わせて簡単に「数列 {an} が単調に 0 に収束する」ときと述べることもできる)。実際、交代級数
- [math]\sum_{n=0}^{\infty}a_n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n |a_n|[/math]
の項の絶対値が単調減少で 0 に収束する、すなわち
- [math]|a_0| \ge |a_1| \ge |a_2| \ge \cdots \to 0[/math]
を満たすとき、部分和
- [math]s_N := \sum_{k=0}^{N}a_k[/math]
の列 {sN} はコーシー列を成すことが確認できる。特に部分和の二つの部分列 {s2n}, {s2m−1} は有界な単調列ゆえにそれぞれ有限な値に収束するが
- [math]\lim_{n\to\infty}s_{2n} - \lim_{m\to\infty}s_{2m-1} = \lim_{n\to\infty}(s_{2n} - s_{2n-1}) = \lim_{n\to\infty}a_{2n} = 0[/math]
となり共通の極限値 S をもつので、それが求める和である。またこのとき、部分和 sN と級数の和 S との誤差は
- [math]|S - s_N| = |a_{N+1} - (a_{N+2} - a_{N+3}) - (a_{N+4} - a_{N+5}) - \cdots| \le |a_{N+1}|[/math]
と評価することができる。
関連項目
外部リンク
- Weisstein, Eric W. “Alternating Series”. MathWorld(英語). Template:Cite webの呼び出しエラー:引数 accessdate は必須です。