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| − | '''リウヴィル数'''（リウヴィルすう、Liouville number）とは、以下の定義を満たす[[実数]] {{mvar|α}} のことである：任意の正[[整数]] {{mvar|n}} に対して、
| + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | :<math>0<\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^n}</math>
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| − | を満たす[[有理数]] {{math|''p''/''q'' (''q'' > 1)}} が少なくとも一つ存在する。
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| − | 例えば、
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| − | :<math>l=\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.110001\,000000\,000000\,000001\,000000\,000000\,000000\ldots</math> | |
| − | はリウヴィル数である。この数は、[[超越数]]であることが証明された初めての数である([[ジョゼフ・リウヴィル]]、[[1844年]])。特にこの数の場合、1が小数点以下、自然数の[[階乗]]の桁数に出現する(1!=1桁目、2!=2桁目、3!=6桁目、4!=24桁目、……)。
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| − | 有理数 {{mvar|α}} が {{math|0 < {{!}}''α''{{!}} < 1}} を満たし、整数からなる単調増加列 {{math|{''a<sub>k</sub>''}<sub>''k'' ≥ 1</sub>}} が {{math|''a''<sub>''k'' + 1</sub>/''a<sub>k</sub>'' → ∞ (''k'' → ∞)}} を満たすとき、
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| − | :<math>\sum_{k=1}^\infty\alpha^{a_k}</math>
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| − | はリウヴィル数である。
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| − | == 性質 ==
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| − | * リウヴィル数は[[超越数]]である（[[ディオファントス近似#リウヴィルの定理|リウヴィルの定理]]）。
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| − | * リウヴィル数は[[超越数#マーラーの分類|マーラーの分類]]で ''U'' 数に属する。
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| − | * 0 でない任意の実数は、2つのリウヴィル数の和、および積で表現することができる。
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| − | * リウヴィル数全体からなる集合は[[可算集合|非可算集合]]であり、実数内で[[稠密]]であるが、1次元[[ルベーグ測度]]は 0 である。
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| − | 上記の性質より、[[ほとんど全て]]の超越数はリウヴィル数ではない。リウヴィル数でないことが知られている数としては以下のようなものが挙げられる。
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| − | * [[自然対数]]の底 ''e'' 。
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| − | * [[円周率]] π。
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| − | * [[チャンパーノウン定数]] 0.123456789101112… 。
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| − | * 1 でない任意の有理数 ''r'' に対する log ''r'' 。
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| − | * 任意の整数 ''d'' ≧ 2 に対する<math>\sum_{n=1}^\infty d^{-n^2}</math> 。
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| − | == 関連項目 ==
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| − | * [[超越数]]
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| − | == 参考文献 ==
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| − | * {{Cite book|和書|last=鹿野|first=健|year=1978|title=解析数論|publisher=教育出版|location=東京}}
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| − | * {{Cite book|和書|last=リーベンボイム|first=P.|translator=吾郷孝視|year=2003|title=我が数よ、我が友よ 数論への招待|publisher=共立出版|location=東京}}
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| − | {{DEFAULTSORT:りうういるすう}}
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| − | [[Category:数論]]
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| − | [[Category:超越数]]
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| − | [[Category:無理数]]
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| − | [[Category:ディオファントス近似]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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| − | [[ru:Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел]]
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