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| − | [[Image:Tangent bundle.svg|right|thumb|インフォーマルには、多様体（この場合円）の接束はすべての接空間を考え（上）それらを滑らかに重ならないようにつなげる（下）ことによって得られる。{{efn|name="disjoint"}}]]
| + | {{テンプレート:20180815sk}} |
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| − | [[微分幾何学]]において、[[可微分多様体]] {{mvar|M}} の'''接束'''（せっそく、{{lang-en-short|tangent bundle}}, 接バンドル、タンジェントバンドル) は {{mvar|M}} の[[接空間]]の[[非交和]]{{efn|name="disjoint"|非交和は多様体 {{mvar|M}} の任意の 2 点 {{math|''x''{{sub|1}}}} と {{math|''x''{{sub|2}}}} に対して接空間 {{math|''T''{{sub|1}}}} と {{math|''T''{{sub|2}}}} が共通のベクトルをもたないことを保証する。これはグラフィカルに円 {{math|''S''{{sup|1}}}} の接束の添付図に描かれている、[[#例|例]]のセクションを参照：円のすべての接線は円の平面にある。それらを交わらないようにするためには円の平面に垂直な平面にそれらを整列することが必要である。}}である。つまり、
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| − | :<math>TM :=\bigsqcup_{x\in M}T_xM=\bigcup_{x\in M} (\{x\}\times T_xM)
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| − | =\bigcup_{x\in M} \{(x, y)\mid y\in T_xM\}.</math>
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| − | ただし {{mvar|T{{sub|x}}M}} は {{mvar|M}} の点 {{mvar|x}} における[[接空間]]を表す。なので、{{mvar|TM}} の元は[[順序対|対]] {{math|(''x'', ''v'')}}、ただし {{mvar|x}} は {{mvar|M}} の点で {{mvar|v}} は {{mvar|M}} の {{mvar|x}} における接空間、と考えることができる。{{math|1=π(''x'', ''v'') = ''x''}} で定義される自然な[[束射影|射影]]
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| − | :<math> \pi : TM \twoheadrightarrow M </math>
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| − | が存在する。この射影は各接空間 {{mvar|T{{sub|x}}M}} を一点 {{mvar|x}} に写像する。
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| − | 接束には（下のセクションで記述される）自然な位相が入る。この位相によって、多様体の接束は[[ベクトル束]]（ファイバーが[[ベクトル空間]]である[[ファイバー束]]）の典型的な例である。{{mvar|TM}} の[[断面 (位相幾何学)|断面]]は {{mvar|M}} 上の[[ベクトル場]]であり、{{mvar|TM}} の[[双対束]]は[[余接束]]で、{{mvar|M}} の[[余接空間]]の非交和である。定義により、多様体 {{mvar|M}} が{{仮リンク|平行化可能|en|Parallelizable manifold}} (parallelizable) であることと接束が[[ファイバー束#ファイバー束の例|自明]]であることは同値である。定義により、多様体 {{mvar|M}} が {{仮リンク|枠付き多様体|label=枠付き|en|Framed manifold}} であることと接束 {{mvar|TM}} が stably trivial、すなわちある自明束 {{mvar|E}} に対し[[ベクトル束#ベクトル束の演算|ホイットニー和]] (Whitney sum) {{nowrap|1=''TM'' ⊕ ''E''}} が自明であることは同値である。例えば、[[超球面|''n'' 次元球面]] {{mvar|S{{sup|n}}}} はすべての {{mvar|n}} に対して枠付きであるが、（Bott-Milnor と Kervaire の結果によって）{{math|1=''n'' = 1, 3, 7}} に対してのみ平行化可能である。
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| − | == 役割 ==
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| − | 接束の主な役割の1つは滑らかな関数の微分の定義域と終域を提供することである。すなわち、{{mvar|M}} と {{mvar|N}} を滑らかな多様体として、{{math|''f'': ''M'' → ''N''}} が滑らかな写像であれば、その{{仮リンク|微分の一般化|label=微分|en|Generalizations of the derivative}} は滑らかな写像 {{math|''Df'': ''TM'' → ''TN''}} である。
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| − | == 位相と滑らかな構造 ==
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| − | 接束には自然な位相（[[非交和位相]]''ではない''）が入り、それ自身多様体になる。{{mvar|TM}} の次元は {{mvar|M}} の次元の 2 倍である{{efn|{{mvar|M}} が {{mvar|C{{sup|r}}}} 級の多様体 ({{math|1 ≤ ''r'' < ∞}}) であっても接束は定義でき、{{math|''C''{{sup|''r''−1}}}} 級の多様体になる。}}。
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| − | {{mvar|n}} 次元多様体の各接空間は {{mvar|n}} 次元ベクトル空間である。{{mvar|U}} が {{mvar|M}} の開[[可縮空間|可縮]]部分集合であれば、{{mvar|TU}} から {{math|''U'' × '''R'''{{sup|''n''}}}} への[[微分同相]]であって各接空間 {{mvar|T{{sub|x}}U}} から {{math|{{mset|''x''}} × '''R'''{{sup|''n''}}}} への線型同型に制限するものが存在する。しかしながら、多様体として、{{mvar|TM}} は積多様体 {{math|''M'' × '''R'''{{sup|''n''}}}} に微分同相なわけではない。それが {{math|''M'' × '''R'''{{sup|''n''}}}} の形であるときには、接束は''自明''である (trivial) という。自明な接束は通常 'compatible な群構造' を伴った多様体に対して起こる。例えば、多様体が[[リー群]]のケース。単位円の接束は自明である、なぜならばそれは（積と自然な微分構造のもとで）リー群であるからだ。しかしながら自明な接束をもったすべての空間がリー群というのは正しくない。自明な接束をもった多様体を{{仮リンク|平行化可能|en|parallelizable}}と呼ぶ。多様体が局所的に[[ユークリッド空間]]でモデルされるのとちょうど同じように、接束は {{math|''U'' × '''R'''{{sup|''n''}}}} 上で局所的にモデルされる、ただし {{mvar|U}} はユークリッド空間の開部分集合である。
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| − | {{mvar|M}} が滑らかな {{mvar|n}} 次元多様体であれば、それはチャート {{math|(''U{{sub|α}}'', ''φ{{sub|α}}'')}} の[[アトラス (トポロジー)|アトラス]]をもつ、ただし {{mvar|U{{sub|α}}}} は {{mvar|M}} の開集合で
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| − | :<math>\phi_\alpha\colon U_\alpha \to \mathbf R^n</math>
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| − | は[[微分同相]]である。{{mvar|U}} 上のこれらの局所座標は {{mvar|T{{sub|x}}M}} と {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の間の同型を各 {{math|''x'' ∈ ''U''}} に対して生じる。そうすると写像
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| − | :<math>\widetilde\phi_\alpha\colon \pi^{-1}(U_\alpha) \to \mathbf R^{2n}</math>
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| − | を
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| − | :<math>\widetilde\phi_\alpha(x, v^i\partial_i) := (\phi_\alpha(x), v^1, \cdots, v^n)</math>
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| − | によって定義できる。これらの写像を {{mvar|TM}} の位相と滑らかな構造を定義するのに使う。{{mvar|TM}} の部分集合 {{mvar|A}} が開であることと
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| − | :<math>\widetilde\phi_\alpha(A\cap \pi^{-1}(U_\alpha))</math>
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| − | が {{math|'''R'''{{sup|2''n''}}}} において各 {{mvar|α}} に対して開であることは同値である。するとこれらの写像は {{mvar|TM}} の開部分集合と {{math|'''R'''{{sup|2''n''}}}} の間の同相写像でありしたがって {{mvar|TM}} の滑らかな構造のチャートとして仕える。<math>\pi^{-1}(U_\alpha\cap U_\beta)</math> で重なるチャート上の変換関数は伴う座標変換から[[ヤコビ行列]]から誘導され、したがって {{math|'''R'''{{sup|2''n''}}}} の開部分集合の間の滑らかな写像である。
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| − | 接束は[[ベクトル束]]（これはそれ自身[[ファイバー束]]の特別な種類である）と呼ばれるより一般的な構造の例である。明示的に書くと、{{mvar|n}} 次元多様体 {{mvar|M}} への接束は、変換関数が伴う座標変換の[[ヤコビアン]]によって与えられる、{{mvar|M}} 上のランク {{mvar|n}} のベクトル束として定義できる。
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| − | == 例 ==
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| − | 最も簡単な例は {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の例である。この場合接束は自明である。
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| − | 別の簡単な例は[[単位円]] {{math|''S''{{sup|1}}}} である（上の絵を見よ）。円の接束も自明であり {{math|''S''<sup>1</sup> × '''R'''}} に同型である。幾何学的には、これは高さ無限の[[円柱 (数学)|円柱]]である。
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| − | 容易に視覚化できる接束は実数直線 {{mathbf|R}} と単位円 {{math|''S''{{sup|1}}}} の接束だけであり、これらはどちらも自明である。2 次元多様体に対して接束は 4 次元でありしたがって視覚化するのは難しい。
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| − | 非自明な接束の簡単な例は単位球面 {{math|''S''{{sup|2}}}} の接束である。この接束は{{仮リンク|つむじ頭の定理|en|hairy ball theorem}}によって非自明である。したがって、球面は parallelizable でない。
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| − | == ベクトル場 ==
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| − | 接ベクトルの多様体の各点への滑らかな割り当ては'''[[ベクトル場]]''' (vector field) と呼ばれる。具体的には、多様体 {{mvar|M}} 上のベクトル場は[[滑らかな関数|滑らかな写像]]
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| − | :<math>V\colon M \to TM</math>
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| − | であって、{{mvar|V{{sub|x}}}} と表記される {{mvar|x}} の像が {{mvar|x}} における接空間 {{mvar|T{{sub|x}}M}} にあるようなものである。ファイバー束の言葉でいえば、そのような写像は[[断面 (位相幾何学)|''断面'']] (section) と呼ばれる。{{mvar|M}} 上のベクトル場はしたがって {{mvar|M}} の接束の断面である。
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| − | {{mvar|M}} 上のすべてのベクトル場の集合は {{math|Γ(''TM'')}} によって表記される。ベクトル場は[[点ごと]]に足し合わせることができ
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| − | :<math>(V+W)_x = V_x + W_x</math>
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| − | {{mvar|M}} 上の滑らかな関数を掛けることができ
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| − | :<math>(fV)_x = f(x)V_x</math>
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| − | 別のベクトル場を得る。するとすべてのベクトル場の集合 {{math|Γ(''TM'')}} は {{mvar|M}} 上の滑らかな関数の[[可換環]]、{{math|''C''{{sup|∞}}(''M'')}} と表記される、上の[[環上の加群|加群]]の構造をもつ。
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| − | {{mvar|M}} 上の局所ベクトル場は接束の''局所断面'' (local section) である。つまり、局所ベクトル場は {{mvar|M}} のある開集合 {{mvar|U}} 上でだけ定義され、{{mvar|U}} の各点に伴う接束のベクトルを割り当てる。{{mvar|M}} 上の局所ベクトル場全体の集合は {{mvar|M}} 上の実ベクトル空間の[[層 (数学)|層]]として知られている構造をなす。
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| − | == 高次の接束 ==
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| − | 接束 {{mvar|TM}} はそれ自身滑らかな多様体であるから、{{仮リンク|二次の接束|en|double tangent bundle}}が接束の構成を繰り返し適用することで定義できる：
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| − | :<math>T^2 M = T(TM).</math>
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| − | 一般に、{{mvar|k}} 次の接束 {{mvar|T{{sup|k}}M}} が再帰的に <math>T(T^{k-1}M)</math> として定義できる。
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| − | 滑らかな写像 {{math|''f'': ''M'' → ''N''}} は誘導される微分をもち、接束はその適切な定義域と終域である {{math|''Df'' : ''TM'' → ''TN''}}. 同様に、高次の接束は高次の微分 <math>D^k f : T^k M \to T^k N</math> の定義域と終域を提供する。
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| − | 異なるが関連した構成は多様体上の{{仮リンク|ジェットバンドル|en|jet bundle}} (jet bundle) である。これは{{仮リンク|ジェット (数学)|label=ジェット|en|jet (mathematics)}}からなるバンドルである。
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| − | == 接束上の自然なベクトル場 ==
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| − | 各接束 {{mvar|TM}} 上、それを多様体と考えて、各点における接空間上の[[対角写像]]として'''自然なベクトル場''' (canonical vector field) {{math|''V'': ''TM'' → ''TTM''}} を定義できる。これは可能であるのはベクトル空間 {{mvar|W}} の接空間は自然に積 <math>TW \cong W \times W</math> であることによる。ベクトル空間自身は平坦でありしたがってこの積の構造のもとで <math>w \mapsto (w, w)</math> によって与えられる自然な対角写像 <math>W \to TW</math> をもつ。この積の構造を各点で接空間に適用し大域化することで自然なベクトル場が生じる。インフォーマルには、多様体 {{mvar|M}} が曲がっていたとしても、点 {{mvar|m}} における各接空間 <math>T_m M \approx \mathbf{R}^n</math> は平坦であるので、接束多様体 {{mvar|TM}} は局所的に曲がった {{mvar|M}} と平坦な <math>\mathbf{R}^n</math> の積である。したがって接束の接束は局所的に（<math>\approx</math> を"座標の選択"に、<math>\cong</math> を"自然な同一視"に使って）：
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| − | :<math>T(TM) \approx T(M \times \mathbf{R}^n) \cong TM \times T(\mathbf{R}^n) \cong TM \times (\mathbf{R}^n \times \mathbf{R}^n)</math>
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| − | そして写像 <math>TTM \to TM</math> は第一座標の上への射影である：
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| − | :<math>(TM \to M) \times (\mathbf{R}^n \times \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^n).</math>
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| − | 最初の写像を零切断を通じて、および二番目の写像を対角写像によって分解することで自然なベクトル場が生まれる。
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| − | {{math|(''x'', ''v'')}} が {{mvar|TM}} の局所座標であれば、ベクトル場は表現
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| − | :<math> V = \sum_i \left. v^i \frac{\partial}{\partial v^i} \right|_{(x,v)}</math>
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| − | をもつ。より具体的に書けば、<math>(x, v) \mapsto (x, v, 0, v)</math> —前二つの座標が変わらないのは、ベクトル場が接束の切断であり、この二つの座標が表す点が底空間の点であることによる：後ろ二つの座標は切断そのものである。ベクトル場のこの表現は {{mvar|v}} のみにより {{mvar|x}} によらないことに注意しよう。接線の向きだけが自然に同一視できるからである。
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| − | 別な定義の仕方として、スカラー乗法を与える写像を考える：
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| − | :<math>\begin{cases}
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| − | \mathbf{R} \times TM \to TM \\
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| − | (t,v) \longmapsto tv
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| − | \end{cases}</math>
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| − | {{mathbf|R}} 成分の変数関する時刻 {{math|1=''t'' = 1}} におけるこの関数の微分は関数 {{math|''V'': ''TM'' → ''TTM''}} であり、これは自然なベクトル場の別の記述である。
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| − | {{mvar|TM}} 上のそのようなベクトル場の存在は[[余接束]]上の{{仮リンク|自然 1-形式|en|canonical one-form}} に類似である。ときどき {{mvar|V}} はまた'''リュービルベクトル場''' (Liouville vector field) あるいは '''動径ベクトル場''' (''radial vector field'') と呼ばれる。{{mvar|V}} を使って接束を特徴づけることができる。本質的に、{{mvar|V}} は 4 つの公理で特徴づけることができ、多様体がこれらの公理を満たすベクトル場をもてば、多様体は接束でありベクトル場はその上の自然なベクトル場である。例えば De León et al. を見よ。
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| − | == 持ち上げ ==
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| − | {{mvar|M}} の対象を {{mvar|TM}} の対象に{{仮リンク|持ち上げ (数学)|label=持ち上げる|en|Lift (mathematics)}}様々な方法がある。例えば、{{mvar|c}} が {{mvar|M}} の曲線であれば、{{mvar|c'}} （{{mvar|c}} の[[接線]]）は {{mvar|TM}} の曲線である。対照的に、{{mvar|M}} についてさらに仮定をしないと（例えば[[リーマン計量]]）、[[余接束]]への同様のリフトは存在しない。
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| − | 関数 {{math|''f'': ''M'' → '''R'''}} の''垂直リフト'' (vertical lift) は <math>f^v=f\circ \pi</math> によって定義される関数 {{math|''f<sup>v</sup>'': ''TM'' → '''R'''}} である、ただし {{math|''π'': ''TM'' → ''M''}} は自然な射影である。
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| − | == 関連項目 ==
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| − | * [[押し出し (微分幾何学)]]
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| − | * {{仮リンク|単位接束|en|unit tangent bundle}}
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| − | * [[余接束]]
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| − | * {{仮リンク|枠束|en|frame bundle}}
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| − | * {{仮リンク|Musical isomorphism|en|Musical isomorphism}}
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| − | == 注釈 ==
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| − | {{notelist}}
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| − | == 参考文献 ==
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| − | <!--{{citations missing|date=July 2009}}-->
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| − | {{Reflist}}<!--added under references heading by script-assisted edit-->
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| − | * {{citation|first=Jeffrey M.|last=Lee|title=Manifolds and Differential Geometry|series=Graduate Studies in Mathematics|volume=Vol. 107 |publisher=American Mathematical Society|publication-place=Providence|year=2009}} . ISBN 978-0-8218-4815-9
| |
| − | * John M. Lee, ''Introduction to Smooth Manifolds'', (2003) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-95495-3.
| |
| − | * [[Jürgen Jost]], ''Riemannian Geometry and Geometric Analysis'', (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-42627-2
| |
| − | * [[Ralph Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden]], ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin-Cummings, London. ISBN 0-8053-0102-X
| |
| − | * M. De León, E. Merino, J.A. Oubiña, M. Salgado, ''A characterization of tangent and stable tangent bundles'', Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, Vol. 61, no. 1, 1994, 1-15 [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AIHPA/AIHPA_1994__61_1/AIHPA_1994__61_1_1_0/AIHPA_1994__61_1_1_0.pdf]
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| − | == 外部リンク ==
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| − | * {{MathWorld|urlname=TangentBundle|title=Tangent Bundle|author=Rowland, Todd.}}
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| − | * {{nlab|urlname=tangent+bundle|title=tangent bundle}}
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| − | * {{PlanetMath|urlname=TangentBundle|title=tangent bundle}}
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| − | * {{ProofWiki|urlname=Definition:Tangent_Bundle|title=Definition:Tangent Bundle}}
| |
| − | * {{springer|title=Tangent bundle|id=p/t092110|author=Voitsekhovskii, M.I.}}
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| − | {{DEFAULTSORT:せつそく}}
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| − | [[Category:微分位相幾何学]]
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| − | [[Category:ベクトル束]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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