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| − | [[数学]]における'''ワイエルシュトラスのM判定法'''（わいえるしゅとらすのえむはんていほう、{{lang-en-short|Weierstrass M-test}}）とは、[[無限級数]]に対する[[比較判定法]]に類似した判定法で、[[実数]]あるいは[[複素数]]に値をとる[[関数 (数学)|関数]]を項とする級数に適用する方法である。
| + | '''ワイエルシュトラスのM判定法'''（わいえるしゅとらすのえむはんていほう、{{lang-en-short|Weierstrass M-test}}） |
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| − | {''f<sub>n</sub>''} を[[集合]] ''A'' 上で定義された実数値ないし複素数値関数列とする。ある正数 ''M<sub>n</sub>'' が存在して、任意の ''n'' ≥ 1 と任意の ''x'' ∈ ''A''に対して
| + | [[無限級数]]に対する[[比較判定法]]に類似した判定法で、[[実数]]あるいは[[複素数]]に値をとる[[関数 (数学)|関数]]を項とする級数に適用する方法。 |
| − | :|''f<sub>n</sub>''(''x'')| ≤ ''M<sub>n</sub>''
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| − | が成り立ち、また級数
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| − | :<math>\sum_{n=1}^{\infty} M_n</math>
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| − | が収束するとすると、級数
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| − | :<math>\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)</math>
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| − | は ''A'' 上一様収束する。
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| − | ワイエルシュトラスのM判定法のより一般の場合として、関数 {''f<sub>n</sub>''} の終域が一般の[[バナッハ空間]]である場合を考えることができる。その場合はステートメントの
| + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | :|''f<sub>n</sub>''| ≤ ''M<sub>n</sub>''
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| − | の部分を
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| − | :||''f<sub>n</sub>''|| ≤ ''M<sub>n</sub>''
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| − | と置き換えればよい。ここで ||·|| はバナッハ空間の[[ノルム]]である。このバナッハ空間における判定法の用例は[[:en:Fréchet derivative]]を参照。
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| − | == 参考文献 ==
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| − | *{{cite book |last=Rudin |first=Walter |title=Functional Analysis |year=1991 |month=January |publisher=McGraw-Hill Science/Engineering/Math |id=ISBN 0-07-054236-8}}
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| − | *{{cite book |last=Rudin |first=Walter |title=Real and Complex Analysis |year=1986 |month=May |publisher=McGraw-Hill Science/Engineering/Math |id=ISBN 0-07-054234-1}}
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| − | *[[E. T. Whittaker|Whittaker]] and [[G. N. Watson|Watson]] (1927). ''A Course in Modern Analysis'', fourth edition. Cambridge University Press, p. 49.
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| | {{DEFAULTSORT:わいえるしゆとらすのえむはんていほう}} | | {{DEFAULTSORT:わいえるしゆとらすのえむはんていほう}} |
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2018/10/27/ (土) 11:55時点における最新版
ワイエルシュトラスのM判定法（わいえるしゅとらすのえむはんていほう、英: Weierstrass M-test）
無限級数に対する比較判定法に類似した判定法で、実数あるいは複素数に値をとる関数を項とする級数に適用する方法。
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