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| − | 数学において、'''qポッホハマー記号'''(q-Pochhammer symbol)は[[q-類似]]の数式に頻出する乗積を略記する記号である<ref>[http://mathworld.wolfram.com/q-PochhammerSymbol.html Wolfram Mathworld: q-Pochhammer Symbol]</ref>。
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| − | : <math>\begin{align} | |
| − | &(a;q)_\infty=\prod_{k=0}^{\infty}(1-aq^k)\\
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| − | &(a;q)_n=\frac{(a;q)_\infty}{(aq^n;q)_\infty}\\
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| − | \end{align}</math>
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| − | <math>|q|<1</math>の仮定が普通であり、実用上、<math>n</math>は[[整数]]であることが多い。<math>n</math>が整数である場合は
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| − | : <math>(a;q)_n=\begin{cases}
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| − | \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^k)&n>0\\
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| − | 1&n=0\\
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| − | \displaystyle\prod_{k=n}^{-1}\frac{1}{(1-aq^k)}&n<0\\
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| − | \end{cases}</math>
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| − | となる。<math>m,n</math>が整数であり、<math>a=q^{-m}</math>であるとき、<math>0{\le}m<n</math>であれば<math>(q^{-m};q)_n=0</math>であり、<math>n{\le}m<0</math>であれば<math>(q^{-m};q)_n</math>である。
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| − | == 更なる略記 ==
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| − | 基底(base)が文字<math>q</math>である場合は省略することがある。
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| − | : <math>\begin{align}
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| − | &(a)_n=(a;q)_n\\
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| − | &(q)_n=(q;q)_n\\
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| − | \end{align}</math>
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| − | 複数のqポッホハマー記号が並ぶときは合成することがある。
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| − | : <math>\begin{align}
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| − | &(a,b,c)_n=(a,b,c;q)_n=(a;q)_n(b;q)_n(c;q)_n\\
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| − | \end{align}</math>
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| − | == 変換式 ==
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| − | 以下の変換式が成立する。
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| − | :<math>\begin{align}(aq^{-n+1};q)_n
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| − | &=\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^{-n+1+k})\\
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| − | &=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{q^{n-1-k}}{a}\right)\\
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| − | &=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{q^{k}}{a}\right)\qquad(n-1-k{\mapsto}n)\\
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| − | &=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\left(\dfrac{1}{a};q\right)_n\\
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| − | \end{align}</math>
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| − | == qブラケット ==
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| − | qブラケット(q-bracket)は整数、実数、複素数などの[[q-類似]]を表す記号である<ref>[http://mathworld.wolfram.com/q-Bracket.html Wolfram Mathworld: q-Bracket]</ref>。
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| − | :<math>[n]=[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q}=\sum_{k=0}^{n-1}q^k</math>
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| − | == q階乗 ==
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| − | q階乗(q-factorial)は[[階乗]]の[[q-類似]]である<ref>[http://mathworld.wolfram.com/q-Factorial.html Wolfram Mathworld: q-Factorial]</ref>。（分母は普通の冪乗であることを為念）
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| − | : <math>[n]_q!=\prod_{k=1}^{n}[k]_q=\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}</math>
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| − | == q二項係数 ==
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| − | q二項係数(q-binomial coefficient)は二項係数の[[q-類似]]である<ref>[http://mathworld.wolfram.com/q-BinomialCoefficient.html Wolfram Mathworld: q-Binomial Coefficient]</ref>。
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| − | : <math>\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q=\frac{[n]_q!}{[n-k]_q![k]_q!}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_{n-k}(q;q)_k}</math>
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| − | == 出典 ==
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| − | <references/>
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| − | {{DEFAULTSORT:きゆうほつほはまきこう}}
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| − | [[Category:数学の表記法]]
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| − | [[Category:q-解析学]]
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| − | [[Category:数学に関する記事|Qきゆうほつほはまきこう]]
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