4つの4
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4つの4(よっつのよん)は、4つの4と数学記号を使い、さまざまな数(普通は整数)を作ることを目指すパズル(数学パズル)である。フォーフォーズ(Four fours)ともいう。
Contents
使用可能な記号
日本の場合、一般的には以下の記号(演算)が使われているようである。
- 四則演算
- 小数点
- 冪乗
- 平方根
- 階乗
- 循環小数の循環節を表す点 [math]\left( .\dot4 = 0.\dot4=0.444 \cdots = \frac{4}{9} \right)[/math]
以下の記号が用いられることもある。
- 二重階乗 !!(1または2からその数までの偶数のみまたは奇数のみの積)
- ガウス記号(小数点以下の端数を切り捨てる)
- ガンマ関数(xが整数ならばΓ(x)=(x-1)!)
- パーセント(4% = 0.04)
- Σ(その数までの和)
例
基本的な例
[math]44[/math] | [math]=44+4-4[/math] | ・・・数を並べて2桁以上の数にしてもよい |
[math]={{4 \times 4.4} \over .4}[/math] | ・・・整数部分が0の小数はその0を省略できる | |
[math]=4!+4!- \sqrt{4} - \sqrt{4}[/math] | ・・・階乗、平方根を使用した例 |
0から10までの例
- 0=44-44
- 1=44/44
- 2=4/4+4/4
- 3=(4+4+4)/4
- 4=4+(4-4)*4
- 5=(4*4+4)/4
- 6=4+(4+4)/4
- 7=44/4-4
- 8=4+4+4-4
- 9=4+4+4/4
- 10=(44-4)/4
記号を多用した例
[math] 149 = \sqrt{\sqrt{\sqrt{{(\sqrt{4}/.4)}^{4!}}}} + 4! [/math]
その他
このパズルは1881年に科学雑誌「ノレッジ」に掲載されたものであり、1から1000まで(ただし、113、157、878、881、893、917、943、946、947を除く)の解答例が示された。解の示されていない113は、一般的に使われる記号(使用可能な記号の節の循環小数まで)では表すことができないといわれている。後半の記号を使った解としては、
[math]113[/math] | [math]=\Gamma (\Gamma (4))-{4!+4 \over 4}[/math] |
[math]=\left({4!+4 \over 4} \right) !!+4!![/math] | |
[math]=\Sigma \Sigma 4 \times \sqrt{4} + \Sigma 4 - \Sigma \sqrt{4}[/math] | |
[math]=[(4!+4.4) \times 4][/math] |
などがあった。
自然対数を用いてよい場合、次の式によって3つの4ですべての正の整数が表現できる。
[math]n=-\frac{\log\left(\cfrac{\log{\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{4}}}}}{\log{4}}\right)}{\log{\sqrt{4}}}[/math]
これは、さらにシンプルに次の様にも書ける。
[math]n=-\log_{\sqrt{4}}{\log_{4}{\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{4}}}}}[/math]
これらのとき、√は n 個つける。
似た問題に、その年の数字(2004年なら 2,0,0,4)を使って数を作る遊びもある。