志村対応

数論で、志村対応（英語: Shimura correspondence）とは、ウェイトが半整数 k + 1/2 のモジュラー形式 F とウェイトが偶数 2k のモジュラー形式 f の間の対応関係をいう。この対応関係は、テンプレート:Harvs により発見された。志村対応は、F 上のヘッケ作用素 T_n² の固有値が、f 上のヘッケ作用素 T_n の固有値に等しいという性質を持つ。

f をウェイト (2k + 1)/2 で指標 χ である正則カスプ形式とする。任意の素数 p に対して、

[math]\sum_{n=1}^\infty \Lambda(n) n^{-s} = \prod_p \left(1-\omega_p p^{-s}+(\chi_p)^2 p^{2k-1-2s}\right)^{-1}[/math]

とする。ここに ω_p は p により決定されるヘッケ作用素 T(p²) の固有値である。

志村は、L-函数の函数等式を使い、

[math]F(z)=\sum_{n=1}^\infty \Lambda(n)q^n[/math]

が、ウェイト 2k で指標 χ² をもつ正則モジュラー函数であることを示した。

参考文献

• テンプレート:Eom
• Shimura, Goro (1973), “On modular forms of half integral weight”, Annals of Mathematics. Second Series 97: 440–481, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970831, MR 0332663, http://jstor.org/stable/1970831