シュールの不等式

シュールの不等式（シュールのふとうしき）は、イサイ・シュールにちなんで名付けられた、非負実数 x, y, z と正数 t に対して成り立つ、次の絶対不等式である。

[math]x^t (x-y)(x-z) + y^t (y-z)(y-x) + z^t (z-x)(z-y) \ge 0[/math]

等号成立は x = y = z のとき、または x, y, z のいずれかが 0 で残り2つが等しいときのみ。また、t が正の偶数の場合はすべての実数 x, y, z について不等式が成り立つ。

証明

不等式は x, y, z について対称なので、x ≥ y ≥ z としても一般性を失わない。すると、示すべき不等式は

[math](x-y)[x^t(x-z)-y^t(y-z)]+z^t(x-z)(y-z) \geq 0[/math]

と変形できるが、左辺の各項は明らかに非負である。

この証明により、シュールの不等式は次のように一般化できる。a, b, c を非負実数として、x ≥ y ≥ z かつ a ≥ b ≥ c であるとき、

[math]a (x-y)(x-z) + b (y-z)(y-x) + c (z-x)(z-y) \ge 0[/math]

が成り立つ。