志村対応
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数論で、志村対応(英語: Shimura correspondence)とは、ウェイトが半整数 k + 1/2 のモジュラー形式 F とウェイトが偶数 2k のモジュラー形式 f の間の対応関係をいう。この対応関係は、テンプレート:Harvs により発見された。志村対応は、F 上のヘッケ作用素 Tn2 の固有値が、f 上のヘッケ作用素 Tn の固有値に等しいという性質を持つ。
f をウェイト (2k + 1)/2 で指標 χ である正則カスプ形式とする。任意の素数 p に対して、
- [math]\sum_{n=1}^\infty \Lambda(n) n^{-s} = \prod_p \left(1-\omega_p p^{-s}+(\chi_p)^2 p^{2k-1-2s}\right)^{-1}[/math]
とする。ここに ωp は p により決定されるヘッケ作用素 T(p2) の固有値である。
- [math]F(z)=\sum_{n=1}^\infty \Lambda(n)q^n[/math]
が、ウェイト 2k で指標 χ2 をもつ正則モジュラー函数であることを示した。
参考文献
- テンプレート:Eom
- Shimura, Goro (1973), “On modular forms of half integral weight”, Annals of Mathematics. Second Series 97: 440–481, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970831, MR 0332663