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| − | [[Image:Carnot theorem2.svg|345px|right|thumb|<math>\begin{align} & {} \qquad DG + DH + DF \\ & {} = |DG| + |DH|- |DF| \\ & {} = R + r \end{align} </math>]]
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| − | '''カルノーの定理'''は、[[フランス]]の[[数学者]][[ラザール・カルノー]]に由来する、初等[[平面幾何学]]における[[定理]]である。
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| − | == 定理 ==
| + | '''カルノーの定理''' |
| − | 任意の[[三角形]] ''ABC'' において、[[外接円]]の[[中心]] ''D'' と3辺との符号付き距離の和は、外接円の[[半径]] ''R'' と[[内接円]]の半径 ''r'' の和に等しい。すなわち、右図において、
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| − | :<math>DF + DG + DH = R + r\, </math>
| + | 与えられた温度をもつ2つの熱源の間で働く熱機関のうち，可逆機関はどんな作業物質のときでもすべて同じ熱効率をもち，不可逆機関の熱効率はすべてこれより小さい。これをカルノーの定理という。 [[S.カルノー]]がこれを提唱したのは，熱力学が完成されるより 30年も前のことであり，のちに R.クラウジウスが[[熱力学第二法則]]から厳密に証明した。理想気体を作業物質とする[[カルノーサイクル]]にカルノーの定理を適用すると，絶対温度が <i>T</i> |
| − | | + | <sub>1</sub> ，<i>T</i> <sub>2</sub>(<i>T</i> |
| − | が成立することを主張するものである。ただし、三角形の各辺への[[垂線]] ''DX'' (''X'' = ''F'', ''G'', ''H'') が当該三角形の外側に完全に出てしまう場合に限り、符号付き距離の符号を負にとるものとする。
| + | <sub>1</sub>＞<i>T</i> |
| − | | + | <sub>2</sub>) の2つの熱源の間で働く可逆機関の熱効率は，1－<i>T</i> |
| − | == 応用 ==
| + | <sub>2</sub>/<i>T</i> |
| − | カルノーの定理は、[[三上義夫]]、[[林鶴一]]によって紹介されたとされる、"[[:en:Japanese theorem for cyclic polygons|Japanese theorem]]" の証明に使用される。
| + | <sub>1</sub> であることが示される。 |
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| − | == 幾何学におけるもう一つの「カルノーの定理」 ==
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| − | 幾何学において“カルノーの定理”と呼ばれる定理としては、上記のほかに、[[シムソンの定理]]の一般的な場合として、任意の三角形の外接円上の点から、当該三角形の各辺へ同じ向きに同じ角をなす直線を引いたときの3辺との交点が一直線上にあることを主張する定理がある。
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| − | == 参考文献 ==
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| − | * 上垣渉 (2001): Japanese Theoremの起源と歴史, 三重大学教育学部研究紀要. 自然科学, '''52''', 23-45[http://miuse.mie-u.ac.jp:8080/bitstream/10076/4917/1/AN002341990520005.PDF]
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| − | * 矢野健太郎 (1981): 『幾何の有名な定理』, 数学ワンポイント双書, 共立出版, ISBN 9784320010765
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| − | == 関連項目 ==
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| − | * [[カルノーの定理 (熱力学)]]: ラザール・カルノーの子息である[[ニコラ・レオナール・サディ・カルノー]]の名に因む、熱機関の最大効率に関する定理
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| − | == 外部リンク ==
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| − | * {{MathWorld|title=Carnot's theorem|urlname=CarnotsTheorem}}
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| − | * [http://www.cut-the-knot.org/proofs/carnot.shtml Carnot's Theorem] at cut-the-knot
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| − | * [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Carnot.shtml Yet another Carnot's Theorem with multiple applications] at cut-the-knot
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| − | * [http://demonstrations.wolfram.com/CarnotsTheorem/ Carnot's Theorem] by Chris Boucher. The Wolfram Demonstrations Project
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| | + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| | {{DEFAULTSORT:かるのお らさある にこら まるくりつと ていり}} | | {{DEFAULTSORT:かるのお らさある にこら まるくりつと ていり}} |
| | [[Category:初等幾何学]] | | [[Category:初等幾何学]] |