メリン変換
メリン変換（メリンへんかん、英: Mellin transform）
両側ラプラス変換の乗法版と見なされる積分変換。この変換はディリクレ級数の理論と密接に関連しており、数論や漸近展開の理論においてよく用いられる。ラプラス変換、フーリエ変換、ガンマ関数や特殊関数の理論と関係している。
この変換の名はフィンランドの数学者ハジャルマー・メリンの名にちなむ。
Contents
定義
局所可積分な関数 f のメリン変換は
- [math]\left\{\mathcal{M}f\right\}(s) = \varphi(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1} f(x)dx [/math]
により定義される。 任意の小さな正の数 [math]\epsilon[/math] に対して、 [math]x\to +0[/math] のとき [math]f(x)=O(x^{-a-\epsilon})[/math] 、 [math]x\to +\infty[/math] のとき [math]f(x)=O(x^{-b+\epsilon})[/math] と評価できるならば、上の積分は絶対収束する。さらに、 [math]\left\{\mathcal{M}f\right\}(s)[/math] は [math]a\lt \Re (s)\lt b[/math] で解析的な関数となる。
また、メリン逆変換は
- [math]\left\{\mathcal{M}^{-1}\varphi\right\}(x) = f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} x^{-s} \varphi(s)\, ds [/math]
により定義される。記号は、複素平面上の縦軸に沿った線積分を意味している。ここで、 c は [math]a\lt c\lt b[/math] を満たす任意の実数である。 このような逆が存在するための条件は、メリン逆定理で与えられている。
他の変換との関係
両側ラプラス変換は、メリン変換を用いて
- [math] \left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x) \right\}(s)[/math]
と表すことが出来る。反対に、メリン変換は両側ラプラス変換により
- [math]\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s)[/math]
と表される。
メリン変換は、積分核 xs を用いた、加法的ハール測度 [math]\frac{dx}{x}[/math] についての積分と考えることが出来る。ここで [math]\frac{dx}{x}[/math] は拡張 [math]x \mapsto ax[/math] について不変であり、したがって [math]\frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x}[/math] が成り立つ。一方、両側ラプラス変換は加法的ハール測度 [math]dx[/math] についての積分と考えられる。ここで [math]dx[/math] は移動不変であり、したがって [math]d(x+a) = dx[/math] が成り立つ。
同様にフーリエ変換もメリン変換を用いて表すことが出来、またその逆も出来る。もし両側ラプラス変換を上述のように定義するなら、
- [math]\left\{\mathcal{F} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f\right\}(is) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x)\right\}(is) [/math]
が成立する。反対に
- [math]\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f(e^{-x})\right\}(-is) [/math]
も成立する。メリン変換はまた、ニュートン級数や二項変換を、ポアソン-メリン-ニュートン・サイクルの意味におけるポアソン母関数と結び付ける。
例
カヘン-メリン積分
[math]c\gt 0[/math]、[math]\Re(y)\gt 0[/math] および主枝上の [math]y^{-s}[/math] に対して、
- [math]e^{-y}= \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \Gamma(s) y^{-s}\;ds[/math]
が成立する。ここで [math]\Gamma(s)[/math] はガンマ関数である。この積分はカヘン-メリン積分として知られている[1]。
数論
数論における重要な応用例として、単関数 [math]f(x)=\begin{cases} 0 & x \lt 1, \\ x^{a} & x \gt 1 \end{cases} [/math] に対し
- [math]\mathcal M f (s)= \frac 1 {s+a} [/math]
が成立する、ということが挙げられる。
L2 上のユニタリ作用素として
ヒルベルト空間の研究において、メリン変換は少し異なった方法で定められる。[math]L^2(0,\infty)[/math] （Lp空間を参照されたい）の関数に対して、基本帯（fundamental strip）は常に [math]\tfrac{1}{2}+i\mathbb{R}[/math] を含む。そのため、線形作用素 [math]\tilde{\mathcal{M}}[/math] を
- [math]\tilde{\mathcal{M}}\colon L^2(0,\infty)\to L^2(-\infty,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}+is} f(x)\,dx [/math]
によって定義することが出来る。言い換えると、集合
- [math]\{\tilde{\mathcal{M}}f\}(s):=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\{\mathcal{M}f\}(\tfrac{1}{2}-is) [/math]
を定義することが出来る。この作用素は通常 [math]\mathcal{M}[/math] とシンプルに記述され、「メリン変換」と呼ばれる。しかしここでは、上での記述と区別するために [math]\tilde{\mathcal{M}}[/math] を記号として用いる。このときメリン逆定理により、[math]\tilde{\mathcal{M}}[/math] は可逆であって、その逆は
- [math]\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\colon L^2(-\infty,\infty) \to L^2(0,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}}^{-1}\varphi\}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}-is} \varphi(s)\,ds [/math]
と得られることが分かる。さらにこの作用素は等長であること、すなわち [math]\|\tilde{\mathcal{M}} f\|_{L^2(-\infty,\infty)}=\|f\|_{L^2(0,\infty)}[/math] がすべての[math]f\in L^2(0,\infty)[/math] に対して成立することが分かる（この性質のために係数 [math]1/\sqrt{2\pi}[/math] が用いられている）。したがって、[math]\tilde{\mathcal{M}}[/math] はユニタリ作用素である。
確率論において
確率論におけるメリン変換は、確率変数の積の分布の研究によく用いられる[2]。X を確率変数とし、X+ = max{X,0} をその正の部分、X − = max{−X,0} をその負の部分としたとき、X のメリン変換は
- [math] \mathcal{M}_X(s) = \int_0^\infty x^s dF_{X^+}(x) + \gamma\int_0^\infty x^s dF_{X^-}(x), [/math]
として定義される[3]。ここで γ は、γ2 = 1 を満たすもの（formal indeterminate）である。この変換は、複素帯領域 D = {s: a ≤ Re(s) ≤ b}（ただしa ≤ 0 ≤ b）内のすべての s に対して存在する[3]。
確率変数 X のメリン変換 [math]\scriptstyle\mathcal{M}_X(it)[/math] は、その分布関数 FX を一意に定める[3]。確率論におけるメリン変換が持つ重要な性質として、次が挙げられる: X および Y を二つの独立な確率変数としたとき、それらの積のメリン変換は、それぞれのメリン変換の積と等しい[4]。すなわち、
- [math] \mathcal{M}_{XY}(s) = \mathcal{M}_X(s)\mathcal{M}_Y(s) [/math]
が成立する。
応用
メリン変換は、そのスケール不変性のため、計算機科学の分野で広く用いられている。あるスケール変換を施された関数のメリン変換の絶対値は、もとの関数の絶対値と等しい。このスケール不変性は、フーリエ変換のシフト不変性とも同様である。時間に関してシフトされた関数のフーリエ変換の絶対値は、もとの関数のそれと等しい。
この性質は、画像認識を行う際に役に立つ。物体の画像は、その物体がカメラに近づいたり離れたりするだけで簡単にスケールが変わってしまうからである。
注釈
- ↑ Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1916). “Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes”. Acta Mathematica 41 (1): 119–196. doi:10.1007/BF02422942. (See notes therein for further references to Cahen's and Mellin's work, including Cahen's thesis.)
- ↑ Galambos & Simonelli (2004, p. 15)
- ↑ 3.0 3.1 3.2 Galambos & Simonelli (2004, p. 16)
- ↑ Galambos & Simonelli (2004, p. 23)
参考文献
- (2004) Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions. Marcel Dekker, Inc.. ISBN 0-8247-5402-6.
- Paris, R. B. (2001). Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals. Cambridge University Press.
- Polyanin, A. D. (1998). Handbook of Integral Equations. Boca Raton: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4.
- Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. (1995). “Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums”. Theoretical Computer Science 144 (1-2): 3–58.
- Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- Weisstein, Eric W. “Mellin Transform”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。
外部リンク
- Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums.
- Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico, newsgroup es.ciencia.matematicas
- Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas (in Spanish).
- Mellin Transform Methods, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology
- Antonio De Sena and Davide Rocchesso, A FAST MELLIN TRANSFORM WITH APPLICATIONS IN DAFX