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| − | '''ルジャンドル多項式'''（ルジャンドルたこうしき、{{lang-en-short|Legendre polynomial}}）とは、[[ルジャンドルの微分方程式]]を満たす'''ルジャンドル関数'''のうち次数が[[自然数|非負整数]]のものを言う。[[直交多項式]]の一種である。
| + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | | |
| − | == 定義 ==
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| − | [[解析学]]において[[ルジャンドルの微分方程式]]
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| − | : <math>{\mathrm d \over \mathrm dx} \left[ (1-x^2) {\mathrm d \over \mathrm dx} f(x) \right] + \lambda(\lambda+1)f(x) = 0</math>
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| − | （{{Mvar|λ}} は任意の[[複素数]]とする）は標準的な[[冪級数]]法を用いて解けることが知られており、その解は一般に'''ルジャンドル関数'''と呼ばれる（何れも[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル]]に名を因む）。この方程式は {{Math|1=''x'' = ±1}} に{{仮リンク|確定特異点|en|regular singular point}}を持つから、一般には原点の周りでの級数解の[[収束半径]]は 1 である。
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| − | | |
| − | [[File:Legendrepolynomials6.svg|thumb|right|''n'' = 5 までのルジャンドル多項式のグラフ]]
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| − | {{Mvar|λ}} が非負整数 {{Math|1=''n'' = 0, 1, 2, …}} のときの解は {{Math|1=''x'' = ±1}} の両点においても正則であり、かつ級数は途中で止まって多項式となる。さらに 、{{Math|1=''x'' = 1}} において値 1 を取るという[[初期値問題|初期条件]]を課すと、解は一意に定まる。これを {{Mvar|n}}次の'''ルジャンドル多項式'''と呼び、普通は {{Math|''P''<sub>''n''</sub>(''x'')}} と記す<ref name="nag">永宮健夫 『応用微分方程式論』、共立出版社、1967年、pp46-52。</ref>。また、全ての非負整数についての {{Mvar|n}}次のルジャンドル多項式全体が成す関数族を総称的に'''ルジャンドル多項式'''と呼ぶ。ルジャンドル多項式は後述する[[関数空間]]の[[内積]]に関して[[正規直交系|直交系]]を成す。ただし、この内積についての各 {{Math|''P''<sub>''n''</sub>(''x'')}} の大きさは 1 ではないため (これは {{Math|1=''P''<sub>''n''</sub>(1) = 1}} という初期条件を課したためである)、[[正規直交系]]にはなっていない点は注意を要する。各ルジャンドル多項式 {{Math|''P''<sub>''n''</sub>(''x'')}} は {{Mvar|n}}次多項式で、[[ロドリゲスの公式]]
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| − | : <math>P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {\mathrm d^n \over \mathrm dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]</math>
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| − | で表すことができる。
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| − | | |
| − | ルジャンドル多項式がルジャンドルの微分方程式を満たすことは、恒等式
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| − | : <math>(x^2-1)\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x^2-1)^n = 2nx(x^2-1)^n</math>
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| − | の両辺を {{Math|''n'' + 1 }} 回微分して、高階微分に関する[[一般ライプニッツ則]]を適用すればわかる<ref>{{harvnb|Courant|Hilbert|1953|loc=II, §8}}</ref>。各ルジャンドル多項式 {{Math|''P''<sub>''n''</sub>}} は以下の[[テイラー級数]]
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| − | {{numBlk|:|<math>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n</math>|{{equationRef|eq:1|1}}}}
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| − | の係数として定義することもできる<ref name="arfken-743">{{Citation |author=George B. Arfken, Hans J. Weber |title=Mathematical Methods for Physicists |url=https://books.google.fr/books?id=qLFo_Z-PoGIC&printsec=frontcover&hl=ja&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false |publisher=Elsevier Academic Press |year=2005 |page=743 |isbn=0-12-059876-0}}</ref>。この[[母函数]]は[[物理学]]において{{仮リンク|多重極展開|en|multipole expansion}}に利用される。
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| − | | |
| − | === 帰納的定義 ===
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| − | 上記の{{equationNote|eq:1|式 (1) }}で与えられたテイラー展開の最初の 2 項から、最初の 2 つのルジャンドル多項式が
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| − | : <math>P_0(x) = 1, P_1(x) = x</math>
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| − | となることがわかる。残りの多項式を得るのには、上記のテイラー展開を直截に計算するよりも、'''ボネの漸化式'''
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| − | : <math> (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)</math>
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| − | を用いるのが適当である。この[[漸化式]]は、{{equationNote|eq:1|式 (1) }}の両辺を {{Mvar|t}} に関して微分したものを整理して得られる等式
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| − | : <math>\frac{x-t}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = (1-2xt+t^2) \sum_{n=1}^\infty n P_n(x) t^{n-1}</math>
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| − | の分母に現れる平方根を{{equationNote|eq:1|式 (1) }}で置き換えて、{{Mvar|t}} の冪に対する{{仮リンク|係数比較|en|equating the coefficients}}を行えば得られる。漸化式に初期条件としてすでに得られている {{Math|''P''<sub>0</sub>, ''P''<sub>1</sub>}} を当てはめれば、全てのルジャンドル多項式が帰納的に生成される。
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| − | | |
| − | 漸化式を解いて陽に表せば
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| − | :<math>\begin{align} P_n(x)
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| − | &= \frac 1 {2^n} \sum_{k=0}^n {n\choose k}^2 (x-1)^{n-k}(x+1)^k\\
| |
| − | &= \sum_{k=0}^n {n\choose k} {-n-1\choose k} \left( \frac{1-x}{2} \right)^k\\
| |
| − | &= 2^n\cdot \sum_{k=0}^n x^k {n \choose k}{\frac{n+k-1}2\choose n}
| |
| − | \end{align}</math>
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| − | などのように書くことができる。後段はルジャンドル多項式を単に単項式として表して[[二項係数]]の乗法公式を使えば、漸化式から直ちに得られる。
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| − | | |
| − | 具体的に最初のいくつかのルジャンドル多項式を挙げれば以下のようになる：
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| − | {| class="wikitable" style="margin: 1ex auto; padding: 1ex 2em; text-align: right;"
| |
| − | |-
| |
| − | ! n !!<math>P_n(x)</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! 0
| |
| − | |<math>1</math>
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| − | |-
| |
| − | ! 1
| |
| − | |<math>x</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! 2
| |
| − | |<math>\textstyle\frac{1}{2}(3x^2-1)</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! 3
| |
| − | |<math>\textstyle\frac{1}{2}(5x^3-3x)</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! 4
| |
| − | |<math>\textstyle\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! 5
| |
| − | |<math>\textstyle\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! 6
| |
| − | |<math>\textstyle\frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)</math>
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| − | |-
| |
| − | ! 7
| |
| − | |<math>\textstyle\frac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)</math>
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| − | |-
| |
| − | ! 8
| |
| − | |<math>\textstyle\frac{1}{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! 9
| |
| − | |<math>\textstyle\frac{1}{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! 10
| |
| − | |<math>\textstyle\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)</math>
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| − | |}
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| − | | |
| − | == 直交性 ==
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| − | ルジャンドル多項式の重要な性質の一つは、これらが[[区間 (数学)|閉区間]] {{math|[−1, 1]}} 上の[[ルベーグ空間| ''L''<sup>2</sup>-内積]]に関して[[直交]]すること、即ち以下の式を満たすことである。
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| − | : <math>\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x) ~ \mathrm{d}x = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}</math>
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| − | ここで {{Math|''δ''<sub>''mn''</sub>}} は[[クロネッカーのデルタ]]、即ち {{Math|1=''m'' = ''n''}} のとき 1 で、それ以外のときは 0 を意味する。ここから、ルジャンドル多項式のもう一つの導出法として、同内積に関する直交関数系 {1, ''x'', ''x''<sup>2</sup>,...} に[[シュミットの直交化法]]を適用することによっても導出可能であることが言える。この直交性により、ルジャンドル多項式系が[[エルミート作用素|エルミート]][[微分作用素]]
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| − | : <math>{\mathrm d \over \mathrm dx} \left[ (1-x^2) {\mathrm d \over \mathrm dx} P(x) \right] = -\lambda P(x)</math>
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| − | の固有値 {{Math|1=''λ'' = ''n''(''n'' + 1)}} に属する[[固有関数]]系となるような[[スツルム＝リウヴィル型微分方程式|スツルム・リウヴィル理論]]としてルジャンドルの微分方程式を捉えることができる。
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| − | | |
| − | == 物理学における応用 ==
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| − | ルジャンドル多項式は初め、1782年に[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル]]<ref>M. Le Gendre, [https://books.google.co.jp/books?id=8FIVAAAAQAAJ&hl=ja&pg=PA411#v=onepage&q&f=false “Recherches sur l'attraction des sphéroïdes homogènes”], ''Mémoires de Mathématiques et de Physique, présentés à l'Académie Royale des Sciences, par divers savans, et lus dans ses Assemblées'', Tome X, pp. 411-435 (Paris, 1785). [注: ルジャンドルは彼の発見を1782年に[[科学アカデミー (フランス)|科学アカデミー]]に提出したが、出版されたのは1785年であった。]</ref>により、{{仮リンク|ニュートン・ポテンシャル|en|Newtonian potential}}
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| − | :<math>
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| − | \frac{1}{\left| \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^\prime \right|} = \frac{1}{\sqrt{r^2+r^{\prime 2}-2rr'\cos\gamma}} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{r^{\prime \ell}}{r^{\ell+1}} P_{\ell}(\cos \gamma)
| |
| − | </math>
| |
| − | の展開の係数として定義された。ここに、{{Math|''r'', ''r''′}} はそれぞれベクトル {{Math|'''''x''''', '''''x'''''′}} の長さであり、{{Mvar|γ}} はそれらのベクトルのなす角である。上記の級数は {{Math|''r'' > ''r''′}} が満たされる場合に収束し、[[質点]]に対応する[[重力ポテンシャル]]もしくは[[点電荷]]に対応する[[クーロンポテンシャル]]を極座標表示する際に用いることができる。このルジャンドル多項式を用いた展開は、例えば連続質量や電荷分布の上でこの展開を積分するときなどに有用である。
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| − | | |
| − | ルジャンドル多項式は、空間の無電荷領域における[[電位]]に関する[[ラプラス方程式]]
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| − | : <math>\nabla^2 \Phi(\boldsymbol{x})=0</math>
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| − | を軸対称な（[[方位角]]に依存しない）[[境界条件]]のもとで、[[変数分離法]]を用いて解く際にも登場する。ここで、 {{Mvar|{{hat|'''''z'''''}}}} を対称軸、{{Mvar|θ}} を観測者の位置と {{Mvar|{{hat|'''''z'''''}}}}-軸との間の角（[[天頂角]]）とするとき、電位は
| |
| − | : <math>\Phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \left[ A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-(\ell+1)} \right] P_\ell(\cos\theta)</math>
| |
| − | となる。{{Math|''A''<sub>''ℓ''</sub>}} と {{Math|''B''<sub>''ℓ''</sub>}} は各問題の境界条件に従って決定される<ref>Jackson, J.D. ''Classical Electrodynamics'', 3rd edition, Wiley & Sons, 1999. page 103</ref>。
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| − | | |
| − | 三次元における[[中心力]]に対するシュレーディンガー方程式を解く際にもルジャンドル多項式は現れる。
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| − | | |
| − | === 多重極展開におけるルジャンドル多項式 ===
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| − | [[File:Point axial multipole.svg|frame|right|Figure 2]]
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| − | ルジャンドル多項式は、多重極展開で自然に現れる
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| − | :<math>\frac{1}{\sqrt{1 + \eta^{2} - 2\eta x}} = \sum_{k=0}^{\infty} \eta^{k} P_{k}(x)</math>
| |
| − | なる形の関数（記号を少し変えてあるが、上で述べたものと同じ）の展開においても有用である。等式の左辺はルジャンドル多項式の[[母関数]]の閉じた形である。
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| − | | |
| − | 例として、（[[球座標系]]での）[[電位]] {{Math|Φ(''r'', ''θ'')}} が {{Mvar|z}}-軸上の点 {{Math|1=''z'' = ''a''}} にある[[点電荷]]によるものとすれば、
| |
| − | : <math>\Phi(r,\theta ) \propto \frac{1}{R} = \frac{1}{\sqrt{r^{2} + a^{2} - 2ar \cos\theta}}</math>
| |
| − | と書くことができる。観測点 {{Mvar|P}} の半径 {{Mvar|r}} が {{Mvar|a}} より大きければ、電位はルジャンドル多項式を用いて
| |
| − | : <math>\Phi(r, \theta) \propto \frac{1}{r} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{a}{r} \right)^{k} P_{k}(\cos \theta)</math>
| |
| − | と展開することができる。ここでは {{Math|1=''η'' = ''a''/''r'' < 1}} および {{Math|1=''x'' = cos''θ''}} と置いた。この展開は通常の多重極展開を行うのに用いられる。
| |
| − | | |
| − | 逆に、観測点 {{Mvar|P}} の半径 {{Mvar|r}} が {{Mvar|a}} より小さいならば、電位を上記のようにルジャンドル多項式展開することはできるが、{{Mvar|a}} と {{Mvar|r}} とは入れ替わる。この展開は[[内部多重極展開]] ({{Lang|en|interior multipole expansion}}) の基本となる。
| |
| − | | |
| − | == その他の性質 ==
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| − | ルジャンドル多項式は対称または反対称、即ち
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| − | : <math>P_n(-x) = (-1)^n P_n(x)</math>
| |
| − | を満たす<ref name="arfken-753">{{Citation |author=George B. Arfken, Hans J. Weber |title=Mathematical Methods for Physicists |url=https://books.google.fr/books?id=qLFo_Z-PoGIC&printsec=frontcover&hl=ja&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false |publisher=Elsevier Academic Press |year=2005 |page=753 |isbn=0-12-059876-0}}</ref>。
| |
| − | | |
| − | 微分方程式と直交性はスケール変換に依らない性質だから、ルジャンドル多項式はその定義において適当に定数倍して
| |
| − | : <math>P_k(1) = 1</math>
| |
| − | を満たすように「標準化」される（「正規化」とも言うが、実際にノルムが 1 というわけではないので紛らわしい）。端点における微分係数は
| |
| − | : <math>P_k'(1) = \frac{k(k+1)}{2}</math>
| |
| − | で与えられる。既に述べたとおり、ルジャンドル多項式はボネの漸化式と呼ばれる三項間漸化式
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| − | :<math>(n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)</math>
| |
| − | と、公式
| |
| − | :<math>\frac{x^2-1}{n} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} P_n(x) = xP_n(x) - P_{n-1}(x)</math>
| |
| − | に従うが、これらから得られる等式
| |
| − | : <math>(2n+1) P_n(x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \left[ P_{n+1}(x) - P_{n-1}(x) \right]</math>
| |
| − | ルジャンドル多項式の積分に有効である。これを繰り返し用いて
| |
| − | : <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} P_{n+1}(x) = (2n+1) P_n(x) + (2(n-2)+1) P_{n-2}(x) + (2(n-4)+1) P_{n-4}(x) + \dotsb</math>
| |
| − | あるいは同じことだが、
| |
| − | : <math>{\mathrm d \over \mathrm dx} P_{n+1}(x) = {2 P_n(x) \over \| P_n(x) \|^2} + {2 P_{n-2}(x) \over \| P_{n-2}(x) \|^2} + \dotsb</math>
| |
| − | が得られる。ただし、ǁ''P''<sub>''n''</sub>(''x'')ǁ は閉区間 [−1, 1] 上のノルム
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| − | : <math>\| P_n(x) \| = \sqrt{\int _{- 1}^{1}(P_n(x))^2 \,\mathrm dx} = \sqrt{\frac{2}{2 n + 1}}</math>
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| − | である。ボネの漸化式から帰納的に陽な表現
| |
| − | : <math>P_n(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}^2 \left( \frac{1+x}{2} \right)^{n-k} \left( \frac{1-x}{2} \right)^k</math>
| |
| − | が得られる。ルジャンドル多項式に対する{{仮リンク|アスキー-ギャスパーの不等式|en|Askey–Gasper inequality}}は
| |
| − | :<math>\sum_{j=0}^n P_j(x)\ge 0\qquad (x\ge -1)</math>
| |
| − | を導く。
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| − | | |
| − | == ずらしルジャンドル多項式 ==
| |
| − | '''ずらしルジャンドル多項式''' (''shifted Legendre polynomial'') は
| |
| − | : <math>\tilde{P}_n(x) = P_n(2x-1)</math>
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| − | で定義される。ここで、ずらし写像（実は[[アフィン変換]]）{{Math|''x'' ↦ 2''x'' − 1}} は、区間 {{math|[0, 1]}} を区間 {{math|[−1, 1]}} へ写す[[全単射]]として選ばれたもので、それゆえ多項式系 {{Math|{{Tilde|''P''}}<sub>''n''</sub>(''x'')}} の区間 {{math|[0, 1]}} 上での直交性
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| − | : <math>\int_{0}^{1} \tilde{P_m}(x) \tilde{P_n}(x)\,\mathrm dx = {1 \over {2n + 1}} \delta_{mn}</math>
| |
| − | が従う。ずらしルジャンドル多項式の明示式は
| |
| − | : <math>\tilde{P_n}(x) = (-1)^n \sum_{k=0}^n {n \choose k} {n+k \choose k} (-x)^k</math>
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| − | で与えられる。[[ロドリゲスの公式]]のずらしルジャンドル多項式版は
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| − | : <math>\tilde{P_n}(x) = \frac{1}{n!} {\mathrm d^n \over \mathrm dx^n } \left[ (x^2 -x)^n \right]</math>
| |
| − | となる。ずらしルジャンドル多項式の最初の方のいくつかは以下のようになる。
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| − | {| class="wikitable" style="margin: 1ex auto;"
| |
| − | ! ''n'' !! <math>\tilde{P_n}(x)</math>
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| − | |-
| |
| − | ! 0
| |
| − | | 1
| |
| − | |-
| |
| − | ! 1
| |
| − | | <math>2x-1</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! 2
| |
| − | | <math>6x^2-6x+1</math>
| |
| − | |-
| |
| − | ! 3
| |
| − | | <math>20x^3-30x^2+12x-1</math>
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | == {{anchors|分数階のルジャンドル函数}}ルジャンドル陪多項式 ==
| |
| − | {{Main|en:Associated Legendre polynomials}}
| |
| − | 非負整数 {{Mvar|k}}、{{Mvar|m}} で
| |
| − | : {{Math|''k'' ≧ ''m''}}
| |
| − | を満たすものに対し、'''ルジャンドル陪多項式'''{{Math|''P''{{sub|''k''}}{{sup|''m''}}(''t'')}} を
| |
| − | : <math>P_k{}^m (t) = | |
| − | \frac{1}{2^k} (1-t^2)^{m/2}
| |
| − | \sum_{j=1}^{\lfloor (k-m) / 2\rfloor}
| |
| − | {(-1)^j (2k-2j)! \over j!(k-j)!(k-2j-m)!}t^{k-2j-m}</math>
| |
| − | と定義する<ref>{{harvnb|日本測地学会|2004|p=|pp=|loc=}}</ref>。{{Math|''P''{{sub|''k''}}{{sup|''m''}}(''t'')}} は'''ルジャンドルの陪微分方程式'''
| |
| − | : <math>(1-t^2)y''(t) -2ty'(t) + \left(k(k+1)-{m^2\over 1-t^2}\right)y(t) =0 </math>
| |
| − | の解である。なお、ルジャンドルの陪微分方程式は {{Math|''k'' ≧ ''m''}} を満たすときのみ解を持つことが知られている。また、{{Math|''Y{{sub|k}}{{sup|m}}'' (''θ'', ''φ'')}} の定義における係数は、後述するノルムが 1 になるよう選んだものである。
| |
| − | | |
| − | {{Math|''P''{{sub|''k''}}{{sup|''m''}}(''t'')}} とルジャンドル多項式 {{Math|''P''{{sub|''k''}}(''t'')}} は以下の関係を満たす：
| |
| − | : <math>P_k{}^m (t) =
| |
| − | (1-t^2)^{m/2}
| |
| − | \frac{
| |
| − | \mathrm{d}^m P_k(t)}{\mathrm{d}t^m}</math>
| |
| − | | |
| − | == 関連項目 ==
| |
| − | * [[ガウス求積]]
| |
| − | * [[ゲーゲンバウアー多項式]]
| |
| − | * {{仮リンク|ルジャンドル有理関数|en|Legendre rational functions}}
| |
| − | * {{仮リンク|トゥラーンの不等式|en|Turán's inequalities}}
| |
| − | * {{仮リンク|ルジャンドルのウェーブレット|en|Legendre wavelet}}
| |
| − | * {{仮リンク|ヤコビ多項式|en|Jacobi polynomials}}
| |
| − | * [[球面調和関数]]
| |
| − | | |
| − | == 注釈 ==
| |
| − | {{Reflist}}
| |
| − | | |
| − | == 参考文献 ==
| |
| − | * {{citation|first1=Milton|last1=Abramowitz|first2=Irene A.|last2=Stegun|year=1965|title=[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]|publisher=Dover|isbn = 978-0486612720}}.
| |
| − | * {{citation|last=Bayin|first=S.S.|year=2006|title=Mathematical Methods in Science and Engineering|publisher=Wiley}}, Chapter 2.
| |
| − | * {{citation|last=Belousov|first=S. L.|year=1962|title=Tables of normalized associated Legendre polynomials|series=Mathematical tables|volume=18|publisher=Pergamon Press}}.
| |
| − | * {{citation|first1=Richard|last1=Courant|authorlink1=リヒャルト・クーラント|first2=David|last2=Hilbert|authorlink2=ダフィット・ヒルベルト|year=1953|title=Methods of Mathematical Physics, Volume 1|publisher=Interscience Publischer, Inc|publication-place=New York}}.
| |
| − | *{{dlmf|first=T. M. |last=Dunster|id=14|title=Legendre and Related Functions}}
| |
| − | *{{dlmf|id=18|title=Orthogonal Polynomials|first=Tom H. |last=Koornwinder|first2=Roderick S. C.|last2= Wong|first3=Roelof |last3=Koekoek||first4=René F. |last4=Swarttouw}}
| |
| − | * {{Citation | author=Refaat El Attar | title= Legendre Polynomials and Functions | publisher= CreateSpace | year=2009 | isbn = 978-1-4414-9012-4}}
| |
| − | * {{Cite web|url=http://www.geod.jpn.org/web-text/part4/4-4/index.html|title=4-4. ルジャンドルの多項式, 陪多項式|accessdate=2017年1月4日|author=高知大学自然科学系 田部井隆雄、神奈川県温泉地学研究所 里村幹夫、京都大学大学院理学研究科 福田洋一|year=2004|publisher=日本測地学会|ref=日本測地学会2004}}
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| − | | |
| − | == 外部リンク ==
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| − | *[http://www.physics.drexel.edu/~tim/open/hydrofin A quick informal derivation of the Legendre polynomial in the context of the quantum mechanics of hydrogen]
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| − | *{{springer|title=Legendre polynomials|id=p/l058050}}
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| − | *[http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html Wolfram MathWorld entry on Legendre polynomials]
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| − | *[http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/LegendrePolyMod.html Module for Legendre Polynomials by John H. Mathews]
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| − | *[http://www.du.edu/~jcalvert/math/legendre.htm Dr James B. Calvert's article on Legendre polynomials from his personal collection of mathematics]
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| − | *[http://www.morehouse.edu/facstaff/cmoore/Legendre%20Polynomials.htm The Legendre Polynomials by Carlyle E. Moore]
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| − | *[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/math/legend.html Legendre Polynomials from Hyperphysics]
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| − | {{DEFAULTSORT:るしやんとるたこうしき}}
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| − | [[Category:特殊超幾何関数]]
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| − | [[Category:直交多項式]]
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| − | [[Category:多項式]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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| − | [[Category:エポニム]]
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