完全系

完全系（かんぜんけい、英: complete system）とは、ある関数やベクトルの集合が、任意の関数やベクトルなどを線形結合で展開できる時の集合のこと。

ベクトルの完全系

ヒルベルト空間 [math]\mathcal{H}[/math] 上のどんなベクトル [math]|\psi\rangle[/math] も、同じ [math]\mathcal{H}[/math] 上のベクトル達 [math]\{|1\rangle,|2\rangle, \dots \}[/math] の線形結合で表せる場合、[math]\{|1\rangle,|2\rangle, \cdots \}[/math] は [math]\mathcal{H}[/math] の完全系を成す、と言う。このとき、任意のベクトル [math]|\psi\rangle[/math] は以下のように表される。

[math]| \psi \rangle = c_1 | 1 \rangle + c_2 | 2 \rangle + \cdots =\sum_n c_n |n\rangle [/math]

完全性関係

以下の関係を完全性関係と呼ぶ。

[math]\sum_n | n \rangle \langle n | = \hat{1} [/math]

[math]\{ |n\rangle \}[/math] がこの完全性関係を満たす場合、[math]\{ |n\rangle \}[/math] は完全形を成す。逆に、[math]\{ |n\rangle \}[/math] が完全系ならば、[math]\{ |n\rangle \}[/math] について完全性関係が成り立つ。

関数の完全系

任意の関数が、ある直交関数系で展開できるとき、この直交関数系を完全系と呼ぶ。

• [math]\{ 1, \cos x, \cos 2x,\dots, \sin x, \sin 2x, \dots \} \ [/math] は完全系である。よって、[math]-\pi \le x \le \pi[/math] の範囲における任意の関数をこの線形結合で表せる。

• 球面調和関数やルジャンドル多項式も、以下の直交関係を満たす完全系である。

  [math]\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m(\theta,\varphi) \, Y_{\ell'}^{m'*}(\theta,\varphi)\,\sin\theta\, d\theta\, d\varphi=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'}[/math]

  [math]\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}[/math]

• 他の完全系の例としては、エルミート多項式、ラゲール多項式、ゲーゲンバウアー多項式、ベッセル関数などがある。

参考文献

• J.J. Sakurai 『現代の量子力学』上、桜井明夫訳、吉岡書店〈物理学叢書56〉、1989年2月。ISBN 978-4-8427-0222-3。

関連項目

• 正規直交系
• 数学に関する記事の一覧