|
|
| 1行目: |
1行目: |
| − | [[数学]]において、'''指標群''' (character group) は[[複素数]]値[[関数]]による[[群 (数学)|群]]の[[群の表現|表現]]の群である。これらの関数は一次元[[行列]]表現と考えることができ、したがって関連した文脈である[[指標理論]]において生じる群[[指標 (数学)|指標]]の特別な場合である。群が[[行列]]によって表現されるときにはいつでも、行列の[[トレース (行列)|トレース]]によって定義される関数は指標 (character) と呼ばれる。しかしながら、これらのトレースは一般には群をなさ''ない''。これらの 1 次元指標のいくつかの重要な性質は一般の指標に適用する：
| + | '''指標群''' (character group) |
| − | * 指標は共役類で不変である。
| |
| − | * 既約表現の指標は直交する。
| |
| − | 有限アーベル群の指標群の主要な重要性は[[数論]]においてである。そこではそれが[[ディリクレ指標]]を構成するために使われる。[[巡回群]]の指標群はまた[[離散フーリエ変換]]の理論においても現れる。局所コンパクトなアーベル群に対して、（連続性を仮定して）指標群は[[フーリエ解析]]の中核をなす。
| |
| | | | |
| − | ==前書き==
| + | 群の指標全体のなす群. |
| − | ''G'' をアーベル群とする。群を 0 でない複素数に写す関数 <math>f:G\rightarrow \mathbb{C}\setminus\{0\}</math> はそれが[[群準同型]]であるとき、つまり任意の <math>g_1,g_2 \in G</math> に対して <math>f(g_1 g_2)=f(g_1)f(g_2)</math> であるときに、''G'' の'''指標''' (character) と呼ばれる。
| |
| − | | |
| − | ''f'' が有限群 ''G'' の指標であれば、各関数値 ''f''(''g)'' は[[1の冪根]]である（なぜならば任意の ''g'' ∈ ''G'' に対してある ''k'' ∈ '''N''' が存在して <math>g^{k}=e</math> であり、<math>f(g)^{k}=f(g^{k})=f(e)=1</math> となるからである）。
| |
| − | | |
| − | 各指標 ''f'' は ''G'' の[[共役類]]上定数である、つまり、''f''(''h'' ''g'' ''h''<sup>−1</sup>) = ''f''(''g''). この理由のため、指標は'''[[類関数]]''' (class function) と呼ばれることがある。
| |
| − | | |
| − | 位数 ''n'' の有限[[アーベル群]]はちょうど ''n'' 個の異なる指標をもつ。これらは ''f''<sub>1</sub>, ..., ''f''<sub>n</sub> で表記される。関数 ''f''<sub>1</sub> は自明な表現である、すなわち <math>\forall g \in G\;\; f_1(g)=1</math>。それは '''''G'' の主指標''' (principal character of ''G'') と呼ばれる。それ以外は'''非主指標''' (non-principal character) と呼ばれる。非主指標はある <math>g \in G</math> に対して <math>f_i(g)\neq 1</math> という性質をもつ。
| |
| − | | |
| − | == 定義 ==
| |
| − | ''G'' が[[位数 (群論)|位数]] ''n'' のアーベル群であれば、指標 ''f<sub>k</sub>'' たちの集合は各元 <math>g \in G</math> に対して <math>(f_j f_k)(g)= f_j(g) f_k(g)</math> という積の下でアーベル群をなす。<!-- this notation assumes the character group is automatically finite for some reason. --->この群は '''''G'' の指標群''' (character group of ''G'') であり、<math>\hat {G}</math> と表記されることがある。その位数は ''n'' である。<math>\hat {G}</math> の単位元は主指標 ''f''<sub>1</sub> である。''f''<sub>k</sub> の逆元は逆数 1/''f''<sub>k</sub> である。任意の ''g'' ∈ ''G'' に対して <math>|f_k(g)|=1</math> であるから逆は複素共役に等しいことに注意する。
| |
| − | | |
| − | == 指標の直交性 ==
| |
| − | 成分が <math>A_{jk}=f_j(g_k)</math>、ただし <math>g_k</math> は ''G'' の ''k'' 番目の元、であるような <math>n \times n</math> 行列 ''A''=''A''(''G'') を考えよう。
| |
| − | | |
| − | ''A'' の ''j'' 行目の成分の和は次で与えられる。
| |
| − | :<math>\sum_{k=1}^n A_{jk} = \sum_{k=1}^n f_j(g_k) = 0</math> if <math>j \neq 1</math>, and
| |
| − | :<math>\sum_{k=1}^n A_{1k} = n</math>.
| |
| − | | |
| − | ''A'' の ''j'' 列目の成分の和は次で与えられる。
| |
| − | :<math>\sum_{j=1}^n A_{jk} = \sum_{j=1}^n f_j(g_k) = 0</math> if <math>k \neq 1</math>, and
| |
| − | :<math>\sum_{j=1}^n A_{j1} = \sum_{j=1}^n f_j(e) = n</math>.
| |
| − | | |
| − | <math>A^\ast</math> で ''A'' の[[共役転置]] ({{Lang|en|conjugate transpose}}) を表す。すると
| |
| − | :<math>AA^\ast = A^\ast A = nI</math>.
| |
| − | これは指標の所望の直交性関係を意味する。すなわち、
| |
| − | | |
| − | :<math>\sum_{k=1}^n {f_k}^* (g_i) f_k (g_j) = n \delta_{ij}</math> ,
| |
| − | ただし <math>\delta_{ij}</math> は[[クロネッカーのデルタ]]で <math>f^*_k (g_i)</math> は <math>f_k (g_i)</math> の複素共役である。
| |
| − | | |
| − | == 関連項目 ==
| |
| − | | |
| − | * [[ポントリャーギン双対]]
| |
| − | | |
| − | ==参考文献==
| |
| − | * See chapter 6 of {{Apostol IANT}}
| |
| | | | |
| | + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| | {{DEFAULTSORT:しひようくん}} | | {{DEFAULTSORT:しひようくん}} |
| | [[Category:数論]] | | [[Category:数論]] |