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| − | {{要改訳}} | + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | [[数学]]における多様体の'''概複素構造'''（がいふくそこうぞう、<em lanf="en">almost complex structure</em>）は、[[多様体]]の各点での[[接ベクトル空間]]が（滑らかな）[[複素構造]]を持つことを言う。1つの多様体に対して複数の概複素構造が入る場合がある。また、複素解析的多様体は必ず概複素構造をもつ一方で、概複素構造を持ちながら複素解析的多様体とならないものが存在する。概複素多様体は[[シンプレクティック幾何学]]に重要な応用を持つ。
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| − | この概念は、1940年代の{{仮リンク|チャールズ・エーレスマン|en|Charles Ehresmann}}(Charles Ehresmann)と{{仮リンク|ハインツ・ホップ|en|Heinz Hopf}}(Heinz Hopf)による。
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| − | <!---In [[mathematics]], an '''almost complex manifold''' is a [[smooth manifold]] equipped with smooth [[linear complex structure]] on each [[tangent space]]. The existence of this structure is a necessary, but not sufficient, condition for a [[manifold]] to be a [[complex manifold]]. That is, every complex manifold is an almost complex manifold, but not vice-versa. Almost complex structures have important applications in [[symplectic geometry]].
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| − | The concept is due to [[Charles Ehresmann|Ehresmann]] and [[Heinz Hopf|Hopf]] in the 1940s.-->
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| − | == 定義 ==
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| − | 滑らかな多様体 M に対し、[[接バンドル]] TM 上の自己同型写像 J: TM → TM で
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| − | {{Indent|<math>J^2 = -\mathrm{id}_{TM{}}</math>}}
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| − | を満たすものを、多様体 M の'''概複素構造'''(almost complex structure)という。ここで、id<sub>TM</sub> は TM 上の恒等写像を表す。概複素構造を持つ多様体を'''概複素多様体'''と言う。言い換えると、{{仮リンク|テンソルのランク|label=ランク|en|Tensor#Tensor rank}}が (1, 1) であり、[[接ベクトル空間|接空間]]の上で[[ベクトルバンドル]][[同型]] J : TM → TM と見なすことができ、J<sup>2</sup> = −1 を満たす[[滑らかな函数|滑らかな]][[テンソル場]] J のことである。
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| − | M が概複素構造を持つと、必然的に M の次元は偶数である。このことは次のように理解できる。M を n-次元とし、J : TM → TM を概複素構造とする。J<sup>2</sup> = −1 であれば、det(J)<sup>2</sup> = (−1)<sup>n</sup> である。しかし、M が実多様体であれば、det(J) は実数であるので、M が概複素構造を持っていても n は偶数であるはずである。これは[[向き付け可能性|向き付け可能]]であることと同じである。
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| − | 簡単な[[線型代数]]の演習として、任意の偶数次元のベクトル空間には線型複素構造が入ることを示すことができる。従って、偶数次元の多様体はいつも (1, 1) ランクのテンソルを各点ごとに持っていて、各々の点で J<sub>p</sub><sup>2</sup> = −1 を満たす。この局所テンソルを互いに貼り合わせて大域的に定義することができるときだけ、各点ごとに定義された線型複素構造は概複素構造を与える。これらの貼り合わせ可能性は、それはM 上に概複素構造が存在する可能性でもあるが、接バンドルに GL(2n, '''R''') から GL(n, '''C''') へ{{仮リンク|構造群の退化|en|reduction of the structure group}}が起きる場合と同値である。従って、（概複素構造の）存在問題は、純粋に[[代数的位相幾何学|代数トポロジー]]の問題として良く理解されている。
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| − | <!---Let ''M'' be a smooth manifold. An '''almost complex structure''' ''J'' on ''M'' is a linear complex structure (that is, a [[linear map]] which squares to −1) on each tangent space of the manifold, which varies smoothly on the manifold. In other words, we have a [[smooth function|smooth]] [[tensor field]] ''J'' of [[Tensor#Tensor rank|rank]] (1, 1) such that ''J''<sup>2</sup> = −1 when regarded as a [[vector bundle]] [[isomorphism]] ''J'' : ''TM'' → ''TM'' on the [[tangent bundle]]. A manifold equipped with an almost complex structure is called an '''almost complex manifold'''.
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| − | If ''M'' admits an almost complex structure, it must be even-dimensional. This can be seen as follows. Suppose ''M'' is ''n''-dimensional, and let ''J'' : ''TM'' → ''TM'' be an almost complex structure. If ''J''<sup>2</sup> = −1 then det(''J'')<sup>2</sup> = (−1)<sup>n</sup>. But if M is a real manifold, then det(''J'') is a real number- thus ''n'' must be even if ''M'' has an almost complex structure. One can show that it must be [[orientable manifold|orientable]] as well.
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| − | An easy exercise in [[linear algebra]] shows that any even dimensional vector space admits a linear complex structure. Therefore an even dimensional manifold always admits a (1, 1) rank tensor ''pointwise'' (which is just a linear transformation on each tangent space) such that ''J''<sub>''p''</sub><sup>2</sup> = −1 at each point ''p''. Only when this local tensor can be patched together to be defined globally does the pointwise linear complex structure yield an almost complex structure, which is then uniquely determined. The possibility of this patching, and therefore existence of an almost complex structure on a manifold ''M'' is equivalent to a [[reduction of the structure group]] of the tangent bundle from GL(2''n'', '''R''') to GL(''n'', '''C'''). The existence question is then a purely [[algebraic topology|algebraic topological]] one and is fairly well understood.-->
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| − | == シンプレクティック多様体上の概複素構造 ==
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| − | (''M'', ω) を[[シンプレクティック多様体]]とする。このとき、次の条件を満たす概複素構造 ''J'': ''TM'' → ''TM'' と ''M'' の[[リーマン計量]] ''g'' が存在する：
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| − | * <math>g_{x}(X,Y) = \omega_{x}(X,JY), \quad X,Y \in T_{x}M,</math>
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| − | * <math>g_{x}(JX,JY) = g_{x}(X,Y), \quad X,Y \in T_{x}M.</math>
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| − | このとき、''J'' と ''g'' をそれぞれシンプレクティック形式 ω と'''両立する'''概複素構造、計量という。ただし、ω と両立する概複素構造は一意には決まらない。
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| − | いま、ω と両立する概複素構造全体のなす集合を '''J'''(''M'', ω) と表すことにする。集合 '''J'''(''M'', ω) は空集合ではなく、可縮である。すなわち、'''J'''(''M'', ω) 内の連続曲線は
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| − | 1点に連続変形可能である。これより、第一[[チャーン類]] ''c''<sub>1</sub>(''TM'', ''J'') ∈ ''H''<sup>2</sup>(''M'', '''Z''') が概複素構造 ''J'' ∈ '''J'''(''M'', ω) の取り方によらず定まる。ここで、''H''<sup>2</sup>(''M'', '''Z''') は ''M'' の整数係数の2次の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー類]](homology class)を表す。
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| − | ==例==
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| − | すべての整数 n に対して、平坦空間 '''R'''<sup>2n</sup> は概複素構造を持つ。そのような概複素構造の例は (1 ≤ i, j ≤ 2n) の範囲で、奇数の i に対して <math>J_{ij} = -\delta_{i,j-1} </math>、偶数の i に対して <math>J_{ij} = \delta_{i,j+1} </math> が例である。
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| − | [[球面]]で概複素構造を持つことのできる場合は '''S'''<sup>2</sup> と '''S'''<sup>6</sup> だけである。'''S'''<sup>2</sup> の場合は、概複素構造は[[リーマン面]]の上のリーマン面に付帯する(honest)複素構造から作られる。6-球面(sphere) '''S'''<sup>6</sup> は、単位ノルムを持つ虚数[[八元数]]の集合として考えると、八元数の積から導出される概複素構造を持つ。特に、'''S'''<sup>4</sup> は概複素構造を持つことができない（エーレスマンとホップ(Eresmann and Hopf)）。
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| − | <!---==Examples==
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| − | For every integer n, the flat space '''R'''<sup>2''n''</sup> admits an almost complex structure. An example for such an almost complex structure is (1 ≤ ''i'', ''j'' ≤ 2''n''): <math>J_{ij} = -\delta_{i,j-1} </math> for odd ''i'', <math>J_{ij} = \delta_{i,j+1} </math> for even ''i''.
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| − | The only [[sphere]]s which admit almost complex structures are '''S'''<sup>2</sup> and '''S'''<sup>6</sup>. In the case of '''S'''<sup>2</sup>, the almost complex structure comes from an honest complex structure on the [[Riemann sphere]]. The 6-sphere, '''S'''<sup>6</sup>, when considered as the set of unit norm imaginary [[octonion]]s, inherits an almost complex structure from the octonion multiplication. In particular, '''S'''<sup>4</sup> cannot be given an almost complex structure (Eresmann and Hopf).-->
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| − | == 概複素構造の微分トポロジー ==
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| − | ベクトル空間 V 上の複素構造より V<sup>'''C'''</sup> が V<sup>+</sup> と V<sup>−</sup>（ +i と -i に対応するそれぞれの J の固有値）へ分解するように、M 上の概複素構造により、複素化された接バンドル TM<sup>'''C'''</sup>（各々の点での複素化された接空間のベクトルバンドル） は TM<sup>+</sup> と TM<sup>−</sup> へと分解する。TM<sup>+</sup> の切断はタイプ (1, 0) の[[ベクトル場]]と呼ばれ、一方、TM<sup>−</sup> はタイプ (0, 1) のベクトル場と呼ばれる。このように J は 複素化された接バンドルの (1, 0)-ベクトル場上の [[虚数単位|i]] と (0, 1)-ベクトル場上の -i を掛けることに対応する。
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| − | [[余接バンドル]]上の[[外積代数]]から[[微分形式]]を作ったように、複素化された余接バンドルの外積代数を作ることができる（複素化された接バンドルの双対空間のバンドルに標準的に同型である）。概複素構造より r-形式のそれぞれの空間の分解を次の式のように導くことができる。
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| − | :<math>\Omega^r(M)^\mathbf{C}=\bigoplus_{p+q=r} \Omega^{(p,q)}(M).</math>
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| − | 言い換えると、各々の Ω<sup>r</sup>(M)<sup>'''C'''</sup> は、各々の r = p + q に対し Ω<sup>(p, q)</sup>(M) への分解する。
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| − | 任意の{{仮リンク|ベクトルバンドルの直和|label=直和|en|direct sum of vector bundles}}に対し、Ω<sup>r</sup>(M)<sup>'''C'''</sup> から Ω<sup>(p,q)</sup> への標準的な射影が存在する。また、Ω<sup>r</sup>(M)<sup>'''C'''</sup> を Ω<sup>r+1</sup>(M)<sup>'''C'''</sup> もあり、[[外微分]]と呼ばれる。このように、概複素構造を使い、不定な形の外微分の作用を精密化することもできるかもしれない。
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| − | :<math>\partial=\pi_{p+1,q}\circ d</math>
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| − | :<math>\overline{\partial}=\pi_{p,q+1}\circ d</math>
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| − | この場合には、<math>\partial</math> がタイプの中の正則部分を一つ増やして、タイプ (p, q) からタイプ (p+1, q) となり、 <math>\overline{\partial}</math> が反正則部分のタイプを一つ増やすような写像となる。これらの作用素は[[ドルボー作用素]]と呼ばれる。
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| − | すべての射影の和は、[[恒等写像]]であるはずであるから、外積の微分は次のように書かれることに注意する。
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| − | :<math>d=\sum_{r+s=p+q+1} \pi_{r,s}\circ d=\partial + \overline{\partial}+\dotsb.</math>
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| − | <!---== Differential topology of almost complex manifolds ==
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| − | Just as a complex structure on a vector space ''V'' allows a decomposition of ''V''<sup>'''C'''</sup> into ''V''<sup>+</sup> and ''V''<sup>−</sup> (the [[eigenspace]]s of ''J'' corresponding to +''i'' and −''i'', respectively), so an almost complex structure on ''M'' allows a decomposition of the complexified tangent bundle ''TM''<sup>'''C'''</sup> (which is the vector bundle of complexified tangent spaces at each point) into ''TM''<sup>+</sup> and ''TM''<sup>−</sup>. A section of ''TM''<sup>+</sup> is called a [[vector field]] of type (1, 0), while a section of ''TM''<sup>−</sup> is a vector field of type (0, 1). Thus ''J'' corresponds to multiplication by [[Imaginary unit|''i'']] on the (1, 0)-vector fields of the complexified tangent bundle, and multiplication by −''i'' on the (0, 1)-vector fields.
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| − | Just as we build [[differential form]]s out of [[exterior power]]s of the [[cotangent bundle]], we can build exterior powers of the complexified cotangent bundle (which is canonically isomorphic to the bundle of dual spaces of the complexified tangent bundle). The almost complex structure induces the decomposition of each space of ''r''-forms
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| − | :<math>\Omega^r(M)^\mathbf{C}=\bigoplus_{p+q=r} \Omega^{(p,q)}(M). \, </math>
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| − | In other words, each Ω<sup>''r''</sup>(''M'')<sup>'''C'''</sup> admits a decomposition into a sum of Ω<sup>(''p'', ''q'')</sup>(''M''), with ''r'' = ''p'' + ''q''.
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| − | As with any [[direct sum of vector bundles|direct sum]], there is a canonical projection π<sub>''p'',''q''</sub> from Ω<sup>''r''</sup>(''M'')<sup>'''C'''</sup> to Ω<sup>(''p'',''q'')</sup>. We also have the [[exterior derivative]] ''d'' which maps Ω<sup>''r''</sup>(''M'')<sup>'''C'''</sup> to Ω<sup>''r''+1</sup>(''M'')<sup>'''C'''</sup>. Thus we may use the almost complex structure to refine the action of the exterior derivative to the forms of definite type
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| − | :<math>\partial=\pi_{p+1,q}\circ d</math>
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| − | :<math>\overline{\partial}=\pi_{p,q+1}\circ d</math>
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| − | so that ∂ is a map which increases the holomorphic part of the type by one (takes forms of type (''p'', ''q'') to forms of type (''p''+1, ''q'')), and <math>\overline{\partial}</math> is a map which increases the antiholomorphic part of the type by one. These operators are called the [[Dolbeault operator]]s.
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| − | Since the sum of all the projections must be the [[identity function|identity map]], we note that the exterior derivative can be written
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| − | :<math>d=\sum_{r+s=p+q+1} \pi_{r,s}\circ d=\partial + \overline{\partial}+\dotsb.</math>-->
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| − | == 可積分概複素構造 ==
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| − | [[複素多様体]]はすべて概複素多様体である。局所正則座標 <math>z^\mu = x^\mu + i y^\mu</math> において、次の写像を定義できるからである。
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| − | :<math>J\frac{\partial}{\partial x^\mu} = \frac{\partial}{\partial y^\mu} \qquad J\frac{\partial}{\partial y^\mu} = -\frac{\partial}{\partial x^\mu}</math>
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| − | (ここで π/2 は反時計まわりの回転とする) あるいは、
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| − | :<math>J\frac{\partial}{\partial z^\mu} = i\frac{\partial}{\partial z^\mu} \qquad J\frac{\partial}{\partial \bar{z}^\mu} = -i\frac{\partial}{\partial \bar{z}^\mu}.</math>
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| − | この写像が概複素構造を定義することは容易にチェックできる。このように、多様体上の任意の複素構造は概複素構造を定義し、この概複素構造を複素構造によって「引き起こされた」といい、複素構造を概複素構造と「整合性を持っている」と言う。
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| − | 逆の質問になるが、概複素構造が複素構造の存在を意味するかどうかは、全く自明なことではなく、一般には正しくない。任意の概複素構造の上で、概複素構造が上記の標準形式を任意の与えられた点 p でもつような座標を見つけることができる。しかし一般には、J が p の完全な[[近傍]]で標準形式をとるような座標を見出すことが不可能である。そのような座標は、もし存在するとしたら、「J の局所正則座標」と呼ぶ。M がすべての点で J の局所正則座標を持つようであれば、これらを貼り合わせて M に複素構造を与え、さらに J を引き起こすような[[正則]]{{仮リンク|貼り合わせ写像|en|atlas (topology)}}を形成する。よって J は{{仮リンク|フロベニウスの定理 (微分幾何学)|label=可積分|en|Frobenius_theorem_(differential_topology)}}(integrable)という。J が複素構造によって引き起こされたのであれば、唯一の複素構造によってのみ J が引き起こされる。
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| − | <!---== Integrable almost complex structures ==
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| − | Every [[complex manifold]] is itself an almost complex manifold. In local holomorphic coordinates <math>z^\mu = x^\mu + i y^\mu</math> one can define the maps
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| − | :<math>J\frac{\partial}{\partial x^\mu} = \frac{\partial}{\partial y^\mu} \qquad J\frac{\partial}{\partial y^\mu} = -\frac{\partial}{\partial x^\mu}</math>
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| − | (just like a counterclockwise rotation of π/2) or
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| − | :<math>J\frac{\partial}{\partial z^\mu} = i\frac{\partial}{\partial z^\mu} \qquad J\frac{\partial}{\partial \bar{z}^\mu} = -i\frac{\partial}{\partial \bar{z}^\mu}.</math>
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| − | One easily checks that this map defines an almost complex structure. Thus any complex structure on a manifold yields an almost complex structure, which is said to be 'induced' by the complex structure, and the complex structure is said to be 'compatible with' the almost complex structure.
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| − | The converse question, whether the almost complex structure implies the existence of a complex structure is much less trivial, and not true in general. On an arbitrary almost complex manifold one can always find coordinates for which the almost complex structure takes the above canonical form at any given point ''p''. In general, however, it is not possible to find coordinates so that ''J'' takes the canonical form on an entire [[neighborhood (topology)|neighborhood]] of ''p''. Such coordinates, if they exist, are called 'local holomorphic coordinates for J'. If ''M'' admits local holomorphic coordinates for ''J'' around every point then these patch together to form a [[holomorphic]] [[atlas (topology)|atlas]] for ''M'' giving it a complex structure, which moreover induces ''J''. ''J'' is then said to be '[[Frobenius_theorem_(differential_topology)|integrable]]'. If ''J'' is induced by a complex structure, then it is induced by a unique complex structure.-->
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| − | M の各々の接空間上に任意の線型写像 A が与えられると、つまり、A はランク (1, 1) のテンソル場であるとすると、'''ナイエンハンステンソル'''(Nijenhuis tensor)はランク (1,2) のテンソル場で、次の式で与えられる。
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| − | :<math> N_A(X,Y) = -A^2[X,Y]+A([AX,Y]+[X,AY]) -[AX,AY].</math>
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| − | 右辺の個別の表現は、滑らかなベクトル場 X と Y の選択に依存しているが、左辺は実際、X と Y の点の値にのみ依存している。これが N<sub>A</sub> がテンソルである理由である。このことは次の成分公式からも明らかである。
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| − | :<math> -(N_A)_{ij}^k=A_i^m\partial_m A^k_j -A_j^m\partial_mA^k_i-A^k_m(\partial_iA^m_j-\partial_jA^m_i).</math>
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| − | ベクトル場のリー括弧を一般化した{{仮リンク|フローリッヒ・ナイエンハンスの括弧|en|Frölicher–Nijenhuis bracket}}(Frölicher–Nijenhuis bracket)の項で、ナイエンハンステンソル N<sub>A</sub> はちょうど [A, A] の半分である。
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| − | '''ニューランダー・ニレンベルグの定理'''(Newlander–Nirenberg theorem)は、概複素構造 J が可積分であることと、N<sub>J</sub> = 0 であることは同値であることを言っている。上で議論したように、整合性のある複素構造は一意である。可積分な概複素構造の存在と、複素構造の存在は同値であるので、これは複素構造の定義に使われるときもある。
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| − | ナイエンハウステンソルがゼロになること、従ってこれと同値ないくつかの他の基準も存在していて、概複素構造の可積分性をチェックする方法が確立している（実際、これらのそれぞれは文献の中にあります）。
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| − | * 2つの (1, 0)-ベクトル場のリーの括弧は、再び、タイプ (1, 0) である
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| − | * <math>d = \partial + \bar\partial</math>
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| − | * <math>\bar\partial^2=0</math>
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| − | これらの条件は、一意に整合性を持つ複素構造の存在を意味する。
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| − | <!---Given any linear map ''A'' on each tangent space of ''M''; i.e., ''A'' is a tensor field of rank (1, 1), then the '''Nijenhuis tensor''' is a tensor field of rank (1,2) given by
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| − | :<math> N_A(X,Y) = -A^2[X,Y]+A([AX,Y]+[X,AY]) -[AX,AY]. \, </math>
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| − | The individual expressions on the right depend on the choice of the smooth vector fields ''X'' and ''Y'', but the left side actually depends only on the pointwise values of ''X'' and ''Y'', which is why ''N''<sub>''A''</sub> is a tensor. This is also clear from the component formula
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| − | :<math> -(N_A)_{ij}^k=A_i^m\partial_m A^k_j -A_j^m\partial_mA^k_i-A^k_m(\partial_iA^m_j-\partial_jA^m_i).</math>
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| − | In terms of the [[Frölicher–Nijenhuis bracket]], which generalizes the Lie bracket of vector fields, the Nijenhuis tensor ''N<sub>A</sub>'' is just one-half of [''A'', ''A''].
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| − | The '''Newlander–Nirenberg theorem''' states that an almost complex structure ''J'' is integrable if and only if ''N<sub>J</sub>'' = 0. The compatible complex structure is unique, as discussed above. Since the existence of an integrable almost complex structure is equivalent to the existence of a complex structure, this is sometimes taken as the definition of a complex structure.
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| − | There are several other criteria which are equivalent to the vanishing of the Nijenhuis tensor, and which therefore furnish methods for checking the integrability of an almost complex structure (and in fact each of these can be found in the literature):
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| − | *The Lie bracket of two (1, 0)-vector fields is again of type (1, 0)
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| − | *<math>d = \partial + \bar\partial</math>
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| − | *<math>\bar\partial^2=0.</math>
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| − | Any of these conditions implies the existence of a unique compatible complex structure.-->
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| − | 概複素構造の存在は、トポロジカルな問題であり、上記の議論したように比較的答えやすい。一方、可積分な概複素構造の存在は、非常に難しい解析的な問題である。例えば、'''S'''<sup>6</sup> は概複素構造をもつことが知られているが、しかしいまだに、可積分な概複素構造を持つか否かは知られていない。滑らかであることは重要である。[[実解析]]的な J に対し、ニューレンダー・ニレンベルグの定理は{{仮リンク|フロベニウスの定理 (微分幾何学)|label=フロベニウスの定理|en|Frobenius theorem (differential topology)}}(Frobenius theorem)から従う。C<sup>∞</sup> (で、少なくとも滑らかんな） J が解析では要求される（テクニカルなより難しい要求としては、正規性仮説により弱めることができる）。
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| − | <!---The existence of an almost complex structure is a topological question and is relatively easy to answer, as discussed above. The existence of an integrable almost complex structure, on the other hand, is a much more difficult analytic question. For example, it has long been known that '''S'''<sup>6</sup> admits an almost complex structure, but it is still an open question as to whether or not it admits an integrable almost complex structure. Smoothness issues are important. For [[real-analytic]] ''J'', the Newlander–Nirenberg theorem follows from the [[Frobenius theorem (differential topology)|Frobenius theorem]]; for ''C''<sup>∞</sup> (and less smooth) ''J'', analysis is required (with more difficult techniques as the regularity hypothesis weakens).-->
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| − | == 整合性を持つ三つ組 ==
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| − | M は[[シンプレクティック形式]] ω を持ち、[[リーマン計量]] g を持ち、概複素構造 J を持っているとする。ω と g [[二次形式#実二次形式|非退化]]であるから、それぞれはバンドル同型 TM → T<sup>*</sup>M を引き起こし、第一の写像を φ<sub>ω</sub> と書くと、内積 φ<sub>ω</sub>(u) = i<sub>u</sub>ω = ω(u, •) により与えられる。他方、φ<sub>g</sub> と書き、ｇ の類似した作用素により与えられる。このように理解すると、三つ組の構造 (g, ω, J) は、次のように他の2つによってそれぞれの構造を特定することができるときに、'''整合性を持つ三つ組'''(compatible triple)を形成すると言う。
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| − | *g (u, v) = ω (u, Jv)
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| − | *ω (u, v) = g (Ju, v)
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| − | *J (u) = (φ<sub>g</sub>)<sup>−1</sup> (φ<sub>ω</sub>(u)).
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| − | これらの等式のそれぞれで、対応する構成が特定されたタイプの構造をしているとき、右辺の 2つの構造は整合性を持っていると言う。例えば、ω と J が整合性を持っていることと、ω(•, J•) がリーマン計量であることは同値である。M 上の切断が ω と整合性を持っているバンドルは、'''可縮なファイバー'''(contractible fibres)を持っているといい、シンプレクティック形式の制限と整合性を持っている接ベクトル上の複素構造である。
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| − | シンプレクティック形式 ω の基本的性質を使い、整合性を持つ概複素構造 J はリーマン計量 ω(u, Jv) に対しての{{仮リンク|概ケーラー多様体|label=概ケーラー構造|en|almost Kähler manifold}}(almost Kähler structure)である。また J が可積分であれば、(M, ω, J) は[[ケーラー多様体]]である。
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| − | これらの三つ組は、[[:en:Unitary_group#2-out-of-3 property|ユニタリ群の性質]]<ref>ユニタリ群 U(n) は、直交群 (2n)、複素群 GL(2n,'''C''')、シンプレクティック群 Sp(2n,'''C''')の次の交叉となる。
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| − | :<math>U(n) = O(2n) \cap GL(n,\mathbf{C}) \cap Sp(2n, \mathbf{R}).</math>
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| − | この性質を'''2-out of-3'''の性質と言う。この性質から、概ケーラー多様体上では、エルミート形式 h を h = g + iω と分解できる。ここに g はリーマン計量、i は概複素構造、ω は概シンプレクティック構造である。
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| − | </ref>に関係している。
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| − | <!---== Compatible triples ==
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| − | Suppose ''M'' is equipped with a [[symplectic form]] ω, a [[Riemannian metric]] ''g'', and an almost-complex structure ''J''. Since ω and ''g'' are [[degenerate form|nondegenerate]], each induces a bundle isomorphism ''TM → T*M'', where the first map, denoted φ<sub>ω</sub>, is given by the [[interior product]] φ<sub>ω</sub>(''u'') = ''i<sub>u</sub>''ω = ω(''u'', •) and the other, denoted φ<sub>''g''</sub>, is given by the analogous operation for ''g''. With this understood, the three structures (''g'', ω, ''J'') form a '''compatible triple''' when each structure can be specified by the two others as follows:
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| − | *''g''(''u'', ''v'') = ω(''u'', ''Jv'')
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| − | *ω(''u'', ''v'') = ''g''(''Ju'', ''v'')
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| − | *''J''(''u'') = (φ<sub>''g''</sub>)<sup>−1</sup>(φ<sub>ω</sub>(''u'')).
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| − | In each of these equations, the two structures on the right hand side are called compatible when the corresponding construction yields a structure of the type specified. For example, ω and ''J'' are compatible iff ω(•, ''J''•) is a Riemannian metric. The bundle on ''M'' whose sections are the almost complex structures compatible to ω has '''contractible fibres''': the complex structures on the tangent fibres compatible with the restriction to the symplectic forms.
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| − | Using elementary properties of the symplectic form ω, one can show that a compatible almost-complex structure ''J'' is an [[almost Kähler manifold|almost Kähler structure]] for the Riemannian metric ω(''u'', ''Jv''). Also, if ''J'' is integrable, then (''M'', ω, ''J'') is a [[Kähler manifold]].
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| − | These triples are related to the [[Unitary_group#2-out-of-3 property|2 out of 3 property of the unitary group]].-->
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| − | == 一般化された概複素構造 ==
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| − | {{仮リンク|ニジェール・ヒッチン|en|Nigel Hitchin}}(Nigel Hitchin)は、多様体 M の上の[[一般化された複素構造#一般化された概複素構造|一般化された概複素構造]]の考えを導入し、彼の学生である{{仮リンク|マルコ・ガルティエリ|en|Marco Gualtieri}}(Marco Gualtieri)と{{仮リンク|ギル・カヴァルカンティ|en|Gil Cavalcanti}}(Gil Cavalcanti)の博士論文で詳述された。通常の概複素構造は、複素化された[[接バンドル]] TM の各々のファイバーの[[線型部分空間|部分空間]]の半分の次元の選択である。一般化された概複素構造は、複素化された接バンドルと[[余接バンドル]]の[[直和 (ベクトル)|直和]]の各々のファイバーの次元が半分の等方的([[:en:isotropic manifold|isotropic]])な部分空間の選択を言う。どちらの場合も、{{仮リンク|部分バンドル|en|subbundle}}とその[[複素共役]]の直和が、元のバンドルとなっていることを要求する。
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| − | 概複素構造を複素構造とするには、半分の次元の空間が[[リー微分|リー括弧]]の下で閉じている必要がある。一般化された概複素構造も一般化された複素構造とするためには、{{仮リンク|クーランの括弧|en|Courant bracket}}の下で閉じている必要がある。さらに、この半分の次元の空間がどこでもゼロとならない{{仮リンク|純粋スピノル|en|pure spinor}}の消滅子(annihilator)であるとき、M は[[一般化された複素構造#可積分性、その他の構造|一般化されたカラビ・ヤウ多様体]]である。
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| − | <!---== Generalized almost complex structure ==
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| − | [[Nigel Hitchin]] introduced the notion of a [[generalized almost complex structure]] on the manifold ''M'', which was elaborated in the doctoral dissertations of his students [[Marco Gualtieri]] and [[Gil Cavalcanti]]. An ordinary almost complex structure is a choice of a half-dimensional [[Linear subspace|subspace]] of each fiber of the complexified [[tangent bundle]] ''TM''. A generalized almost complex structure is a choice of a half-dimensional [[isotropic manifold|isotropic]] subspace of each fiber of the [[direct sum of vector bundles|direct sum]] of the complexified tangent and [[cotangent bundle]]s. In both cases one demands that the direct sum of the [[subbundle]] and its [[complex conjugate]] yield the original bundle.
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| − | An almost complex structure integrates to a complex structure if the half-dimensional subspace is closed under the [[Lie derivative|Lie bracket]]. A generalized almost complex structure integrates to a [[generalized complex structure]] if the subspace is closed under the [[Courant bracket]]. If furthermore this half-dimensional space is the annihilator of a nowhere vanishing [[pure spinor]] then ''M'' is a [[generalized Calabi–Yau manifold]].-->
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| − | ==脚注==
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| − | <references/>
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| − | == 関連項目 ==
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| − | * [[チャーン類]]
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| − | * {{仮リンク|フローリッヒ・ナイエンハイスの括弧|en|Frölicher–Nijenhuis bracket}}(Frölicher–Nijenhuis bracket)
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| − | * [[ケーラー多様体]]
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| − | * [[ポアソン多様体]]
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| − | * [[シンプレクティック多様体]]
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| − | * {{仮リンク|リッツァ多様体|en|Rizza manifold}}(Rizza manifold)
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| − | * {{仮リンク|概四元数多様体|en|Almost quaternionic manifold<!-- 存在しない -->}}(Almost quaternionic manifold)
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| − | == 参考文献 ==
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| − | *{{Citation | doi=10.2307/1970051 | last1=Newlander | first1=A. | last2=Nirenberg | first2=L. | title=Complex analytic coordinates in almost complex manifolds | mr=0088770 | year=1957 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=65 | issue=3 | pages=391–404 | jstor=1970051}}
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| − | *da Silva, A.C., ''[http://www.springerlink.com/content/hq3au3baggr3/ Lectures on Symplectic Geometry]'', Springer (2001). ISBN 3-540-42195-5. Information on compatible triples, Kähler and Hermitian manifolds, etc.
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| − | *[[Raymond O. Wells, Jr.|Wells, R.O.]], ''Differential Analysis on Complex Manifolds'', Springer-Verlag, New York (1980). ISBN 0-387-90419-0. Short section which introduces standard basic material.
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| − | {{DEFAULTSORT:かいふくそこうそう}}
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| − | [[Category:複素幾何学]]
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| − | [[Category:多様体論]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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