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| − | [[File:Spherical with grid.svg|thumb|球面座標系]]
| + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | '''球面座標系'''（きゅうめんざひょうけい、{{Lang-en|spherical coordinate system}}）とは、3次元[[ユークリッド空間]]に定まる[[座標系]]の一つで、一つの[[動径]]座標と二つの[[角度]]座標で表される[[極座標系]]である。第一の角度はある[[座標軸|軸]]（通常は {{mvar|z}}-軸を選ぶ）と動径がなす角度で、第二の角度は、その軸に[[垂直]]な[[平面]]にある別の軸（通常は {{mvar|x}}-軸を選ぶ）とこの平面への動径の[[射影]]がなす角度である。通常は動径座標に記号 {{mvar|r}} を用い、第一の角度座標には {{mvar|θ}} を、第二の角度座標には {{mvar|φ}} を用いて表される。動径座標は {{math|0 ≤ ''r'' < ∞}} の範囲にあり、第一の角度は {{math|0 ≤ ''θ'' ≤ π}} の範囲にある。第二の角度の動く範囲は {{math|−π < ''φ'' ≤ π}} もしくは {{math|0 ≤ ''φ'' < 2π}} のどちらかを用いることが多い。
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| − | | |
| − | == 座標変換 ==
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| − | 球面座標 {{math|(''r'',''θ'',''φ'')}} から[[直交座標系|直交直線座標]] {{math|(''x'',''y'',''z'')}} への変換は
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\begin{cases}
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| − | x = r\sin\theta\, \cos\phi \\
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| − | y = r\sin\theta\, \sin\phi \\
| |
| − | z = r\cos\theta \\
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| − | \end{cases}</math>
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| − | }}
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| − | で与えられる。第二の角度座標を {{math|−π < ''φ'' ≤ π}} とする場合は、直交直線座標 {{math|(''x'',''y'',''z'')}} から球面座標 {{math|(''r'',''θ'',''φ'')}} への変換は
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\begin{cases}
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| − | r =\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\
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| − | \theta =\arccos(z/\sqrt{x^2+y^2+z^2}) \\
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| − | \phi =\sgn(y) \arccos(x/\sqrt{x^2+y^2}) \\
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| − | \end{cases}</math>
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| − | }}
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| − | で与えられる。ここで {{math|sgn}} は[[符号関数]]
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\sgn(y) =\begin{cases}
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| − | 1 & (y\ge0) \\
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| − | -1 & (y<0) \\
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| − | \end{cases} </math>
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| − | }}
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| − | である。{{mvar|z}}-軸上 {{math|1=(''x'',''y'') = (0,0)}} において特異性があり、[[分母]]がゼロとなるため {{mvar|φ}} が定まらない。さらに[[原点]] {{math|1=(''x'',''y'',''z'') = (0,0,0)}} においては {{mvar|θ}} も定まらない。
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| − | | |
| − | 球面座標 {{math|(''r'',''θ'',''φ'')}} から直交直線座標 {{math|(''x'',''y'',''z'')}} への変換の式を微分すれば
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\begin{cases}
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| − | dx = \sin\theta\, \cos\phi\, dr +r\cos\theta\, \cos\phi\, d\theta -r\sin\theta\, \sin\phi\, d\phi \\
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| − | dy = \sin\theta\, \sin\phi\, dr +r\cos\theta\, \sin\phi\, d\theta +r\sin\theta\, \cos\phi\, d\phi \\
| |
| − | dz = \cos\theta\, dr -r\sin\theta\, d\theta\\
| |
| − | \end{cases}</math>
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| − | }}
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| − | が得られて、[[ヤコビ行列]]とヤコビ行列式は
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\begin{align}
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| − | \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\phi)}
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| − | &=\begin{pmatrix}
| |
| − | \sin\theta\, \cos\phi & r\cos\theta\, \cos\phi & -r\sin\theta\, \sin\phi \\
| |
| − | \sin\theta\, \sin\phi & r\cos\theta\, \sin\phi & r\sin\theta\, \cos\phi \\
| |
| − | \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\
| |
| − | \end{pmatrix} \\
| |
| − | &=\begin{pmatrix}
| |
| − | \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\
| |
| − | \sin\phi & \cos\phi & 0 \\
| |
| − | 0 & 0 & 1 \\
| |
| − | \end{pmatrix}
| |
| − | \begin{pmatrix}
| |
| − | \sin\theta & \cos\theta & 0 \\
| |
| − | 0 & 0 & 1 \\
| |
| − | \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
| |
| − | \end{pmatrix}
| |
| − | \begin{pmatrix}
| |
| − | 1 & 0 & 0 \\
| |
| − | 0 & r & 0 \\
| |
| − | 0 & 0 & r\sin\theta \\
| |
| − | \end{pmatrix} \\
| |
| − | \end{align}</math>
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| − | }}
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\phi)} \right| =r^2 \sin\theta</math>
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| − | }}
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| − | となる。従って球面座標で表した体積素は
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| − | {{Indent|
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| − | <math>dV =dx\, dy\, dz =r^2 \sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi</math>
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| − | }}
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| − | となる。また、線素の二乗は
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| − | {{Indent|
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| − | <math>ds^2 =dx^2 +dy^2 +dz^2 =dr^2 +r^2d\theta^2 +r^2\sin^2\theta\, d\phi^2</math>
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| − | }}
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| − | となる。交叉項が現れないため、球座標は各点において動径が増減する方向と二つの角度が増減する方向がそれぞれに直交している[[直交座標系]]である。
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| − | | |
| − | == ベクトル解析 ==
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| − | 球面座標 {{math|(''r'',''θ'',''φ'')}} での[[位置ベクトル]] {{mvar|'''x'''}} の偏微分により
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\boldsymbol{e}_r =\frac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial r},~
| |
| − | \boldsymbol{e}_\theta =\frac{1}{r}\frac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial\theta},~
| |
| − | \boldsymbol{e}_\phi =\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial\boldsymbol{x}}{\partial\phi}</math>
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| − | }}
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| − | を定義する。
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| − | 標準基底 {{mvar|'''e'''{{sub|x}} , '''e'''{{sub|y}} , '''e'''{{sub|z}}}} を用いれば、位置ベクトルの微分は
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\begin{align}
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| − | d\boldsymbol{x} &=\boldsymbol{e}_x\, dx +\boldsymbol{e}_y\, dy +\boldsymbol{e}_z\, dz \\
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| − | &=\begin{pmatrix}
| |
| − | \boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_y & \boldsymbol{e}_z \\
| |
| − | \end{pmatrix}
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| − | \begin{pmatrix}
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| − | dx \\ dy \\ dz \\
| |
| − | \end{pmatrix} \\
| |
| − | &=\begin{pmatrix}
| |
| − | \boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_y & \boldsymbol{e}_z \\
| |
| − | \end{pmatrix}
| |
| − | \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\phi)}
| |
| − | \begin{pmatrix}
| |
| − | dr \\ d\theta \\ d\phi \\
| |
| − | \end{pmatrix}
| |
| − | \end{align}</math>
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| − | }}
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| − | となるので、具体的に
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\begin{cases}
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| − | \boldsymbol{e}_r =\boldsymbol{e}_x \sin\theta\, \cos\phi +\boldsymbol{e}_y \sin\theta\, \sin\phi +\boldsymbol{e}_z \cos\theta \\
| |
| − | \boldsymbol{e}_\theta =\boldsymbol{e}_x \cos\theta\, \cos\phi +\boldsymbol{e}_y \cos\theta\, \sin\phi -\boldsymbol{e}_z \sin\theta \\
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| − | \boldsymbol{e}_\phi =-\boldsymbol{e}_x \sin\phi +\boldsymbol{e}_y \cos\phi \\
| |
| − | \end{cases}</math>
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| − | }}
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| − | で表される。
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| − | | |
| − | 標準内積を考えれば
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| − | {{Indent|
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| − | <math>| \boldsymbol{e}_r |^2 =| \boldsymbol{e}_\theta |^2
| |
| − | =| \boldsymbol{e}_\phi |^2 =1</math>
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| − | }}
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\boldsymbol{e}_r\cdot \boldsymbol{e}_\theta
| |
| − | =\boldsymbol{e}_r\cdot \boldsymbol{e}_\phi
| |
| − | =\boldsymbol{e}_\theta\cdot \boldsymbol{e}_\phi =0</math>
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| − | }}
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| − | となり、これらは正規直交基底である。
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| − | 任意のベクトル場 {{mvar|'''A'''}} は
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| − | {{Indent|
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| − | <math>A_r =\boldsymbol{e}_r \cdot \boldsymbol{A},~
| |
| − | A_\theta =\boldsymbol{e}_\theta \cdot \boldsymbol{A},~
| |
| − | A_\phi =\boldsymbol{e}_\phi \cdot \boldsymbol{A}</math>
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| − | }}
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\boldsymbol{A} =A_r \boldsymbol{e}_r +A_\theta \boldsymbol{e}_\theta +A_\phi \boldsymbol{e}_\phi</math>
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| − | }}
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| − | によって成分表示される。
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| − | ベクトル場の球面座標による微分は
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial r}
| |
| − | =\frac{\partial A_r}{\partial r} \boldsymbol{e}_r
| |
| − | +\frac{\partial A_\theta}{\partial r} \boldsymbol{e}_\theta
| |
| − | +\frac{\partial A_\phi}{\partial r} \boldsymbol{e}_\phi</math>
| |
| − | }}
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial\theta}
| |
| − | =\left( \frac{\partial A_r}{\partial\theta} -A_\theta \right) \boldsymbol{e}_r
| |
| − | +\left( \frac{\partial A_\theta}{\partial\theta} +A_r\right) \boldsymbol{e}_\theta
| |
| − | +\frac{\partial A_\phi}{\partial\theta} \boldsymbol{e}_\phi</math>
| |
| − | }}
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial\phi}
| |
| − | =\left( \frac{\partial A_r}{\partial\phi}
| |
| − | -A_\phi\sin\theta \right) \boldsymbol{e}_r
| |
| − | +\left( \frac{\partial A_\theta}{\partial\phi}
| |
| − | -A_\phi\cos\theta \right) \boldsymbol{e}_\theta
| |
| − | +\left( \frac{\partial A_\phi}{\partial\phi}
| |
| − | +A_r\sin\theta +A_\theta\cos\theta \right) \boldsymbol{e}_\phi
| |
| − | </math>
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| − | }}
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| − | で与えられる。
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| − | | |
| − | === スカラー場の勾配 ===
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| − | スカラー場 {{math|''f''('''''x''''')}} の[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]は
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| − | {{Indent|
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| − | <math>df =(\mathrm{grad}\, f)\cdot d\boldsymbol{x}</math>
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| − | }}
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| − | で定義されるベクトル場である。球面座標で表した位置ベクトルの微分が
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| − | {{Indent|
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| − | <math>d\boldsymbol{x} =\boldsymbol{e}_r\, dr +r\boldsymbol{e}_\theta\, d\theta +r\sin\theta\, \boldsymbol{e}_\phi\, d\phi </math>
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| − | }}
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| − | であることから、球面座標系でのスカラー場 {{mvar|f}} の勾配は
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\mathrm{grad}\, f =\boldsymbol{e}_r \frac{\partial f}{\partial r}
| |
| − | +\frac{\boldsymbol{e}_\theta}{r} \frac{\partial f}{\partial\theta}
| |
| − | +\frac{\boldsymbol{e}_\phi}{r\sin\theta} \frac{\partial f}{\partial\phi}</math>
| |
| − | }}
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| − | となる。ベクトル微分演算子を
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| − | {{Indent|
| |
| − | <math>\nabla =\boldsymbol{e}_r \frac{\partial}{\partial r}
| |
| − | +\frac{\boldsymbol{e}_\theta}{r} \frac{\partial}{\partial\theta}
| |
| − | +\frac{\boldsymbol{e}_\phi}{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\phi}</math>
| |
| − | }}
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| − | で定めれば
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\mathrm{grad}\, f =\nabla f</math>
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| − | }}
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| − | と書ける。
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| − | | |
| − | === ベクトル場の発散 ===
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| − | 球面座標系でのベクトル場 {{mvar|'''A'''}} の[[発散 (ベクトル解析)|発散]]は
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\begin{align}
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| − | \mathrm{div}\, \boldsymbol{A} &= \nabla\cdot \boldsymbol{A}
| |
| − | =\boldsymbol{e}_r\cdot\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial r}
| |
| − | +\frac{\boldsymbol{e}_\theta}{r} \cdot\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial\theta}
| |
| − | +\frac{\boldsymbol{e}_\phi}{r\sin\theta} \cdot\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial\phi} \\
| |
| − | &= \left( \frac{\partial A_r}{\partial r} +\frac{2}{r} A_r\right)
| |
| − | +\frac{1}{r} \left( \frac{\partial A_\theta}{\partial\theta} +A_\theta\cot\theta \right)
| |
| − | +\frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial\phi} \\
| |
| − | &=\frac{1}{r^2} \frac{\partial(r^2A_r)}{\partial r}
| |
| − | +\frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial(A_\theta\sin\theta)}{\partial\theta}
| |
| − | +\frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial\phi} \\
| |
| − | \end{align}</math>
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| − | }}
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| − | となる。
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| − | | |
| − | === ベクトル場の回転 ===
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| − | 球面座標系でのベクトル場 {{mvar|'''A'''}} の[[回転 (ベクトル解析)|回転]]は
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| − | {{Indent|
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| − | <math>\begin{align}
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| − | \mathrm{rot}\, \boldsymbol{A} &=\nabla\times\boldsymbol{A}
| |
| − | =\boldsymbol{e}_r\times\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial r}
| |
| − | +\frac{\boldsymbol{e}_\theta}{r} \times\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial\theta}
| |
| − | +\frac{\boldsymbol{e}_\phi}{r\sin\theta} \times\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial\phi} \\
| |
| − | &=\frac{\boldsymbol{e}_r}{r\sin\theta} \left[
| |
| − | \frac{\partial(A_\phi\sin\theta)}{\partial\theta} -\frac{\partial A_\theta}{\partial\phi} \right]
| |
| − | +\frac{\boldsymbol{e}_\theta}{r} \left[
| |
| − | \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial\phi}
| |
| − | -\frac{\partial(rA_\phi)}{\partial r} \right]
| |
| − | +\frac{\boldsymbol{e}_\phi}{r} \left[
| |
| − | \frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r}
| |
| − | -\frac{\partial A_r}{\partial\theta} \right] \\
| |
| − | \end{align}</math>
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| − | }}
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| − | となる。
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| − | | |
| − | | |
| − | == 関連項目 ==
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| − | * [[天球座標系]]
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| − | * [[極座標系]]
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| − | * [[球面]]
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| − | | |
| − | {{DEFAULTSORT:きゆうめんさひようけい}}
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| − | [[Category:座標]]
| |
| − | [[Category:数学に関する記事]]
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| − | {{Math-stub}}
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| − | | |
| − | [[fi:Koordinaatisto#Pallokoordinaatisto]]
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| − | [[it:Sistema di riferimento#Il sistema sferico]]
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