「立方根」の版間の差分
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立方根(りっぽうこん、cubic root、root of third power)とは、ある数が与えられた時、三乗して与えられた数となるような新たな数を指す。三乗根(さんじょうこん)ともいう。
定義
積の定義された集合 E を固定して考える。E の元 a に対し、a = x3 を満たす x ∈ E が存在するとき、x は E における a の立方根であるという。また、立方根を求めることを開立(かいりゅう)という。
a が実数であれば a の立方根は実数の範囲に常にただ一つ存在 し、それを [math]\sqrt[3]{a}[/math] と表す。
性質
- 正の数 a に対して、
- [math]\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}.[/math]
- 1 の虚立方根の一つを ω とすると、もう一つの虚立方根は ω2 であり、ω, ω2 はともに 1 の原始冪根である。また、1 + ω + ω2 = 0 が成り立つ。
- α が 0 でない複素数ならば、α の立方根は常に 3 個あり、それらは複素数平面上で、原点 O を中心とする半径 [math]\sqrt[3]{|\alpha|}[/math] の円に内接する正三角形の頂点になる。
具体的な数
- [math]\sqrt[3]{2} = 1.2599210498\cdots[/math](オンライン整数列大辞典の数列 A002580)
- [math]\sqrt[3]{3} = 1.4422495703\cdots[/math](オンライン整数列大辞典の数列 A002581)
- [math]\sqrt[3]{4} = 1.5874010519\cdots[/math](オンライン整数列大辞典の数列 A005480)
- [math]\sqrt[3]{5} = 1.7099759466\cdots[/math](オンライン整数列大辞典の数列 A005481)
- [math]\sqrt[3]{6} = 1.8171205928\cdots[/math](オンライン整数列大辞典の数列 A005486)
- [math]\sqrt[3]{7} = 1.9129311827\cdots[/math](オンライン整数列大辞典の数列 A005482)
- [math]\sqrt[3]{8} = 2[/math]
- [math]\sqrt[3]{9} = 2.0800838230\cdots[/math](オンライン整数列大辞典の数列 A010581)
関連項目
- 立方数
- 冪根
- 平方根
- 代数的数
- 定規とコンパスによる作図(三大問題の内の「立方倍積問題」)