面積

面積（めんせき）とは、平面内の、あるいは曲面内の図形の大きさ、広さ、の量である。立体物の表面の面積の合計を特に表面積（ひょうめんせき）と呼ぶ。

面積の単位

今日では以下のように定義されている。

基本的な面積を計算する公式をいくつか示す。

正方形: a²（a = 一辺の長さ）
長方形: ab（a = 縦の長さ、b = 横の長さ）
菱形: 1/2ab（a, b は2つの対角線の長さ）
台形: 1/2(B + b)h（B, b は上底、下底の長さ、h = 高さ）
平行四辺形: ah（a = 底辺の長さ、h = 高さ）
平行四辺形: |A × B| = |A||B|sin θ（A, B は平行四辺形を張る独立なベクトル、"×" はベクトルのクロス積（外積）、"| |" はベクトルの大きさ、θ は A と B のベクトルのなす角）
三角形: 1/2ah（a = 底辺の長さ、h = 高さ）、1/2absin θ（a、b = 辺の長さ、θ = 2辺のなす角の大きさ（ラジアン (rad)）、ヘロンの公式
各頂点の座標が与えられた多角形: 座標法を参照
円: $π$ r²（ $π$ = 円周率、r = 半径）
扇形: 1/2r²θ（θ = 中心角の大きさ（ラジアン））
扇形: $π$ r²θ/360（θ = 中心角の大きさ（度））
扇形: 1/2lr（l = 弧の長さ (2 $π$ rθ/360))
楕円: $π$ ab（a、b = 半長軸および半短軸の長さ）
正多角形: 1/2Pa（P = 周辺の長さ、a = 多角形の辺心距離（中心から辺の中心までの長さ））
格子多角形:ピックの定理
アステロイド曲線に囲まれた部分: 3/8 $π$ a（アステロイド曲線の方程式 x^2/3 + y^2/3 = a^2/3）
カージオイド曲線に囲まれた部分: 3/2 $π$ a（カージオイド曲線の極方程式 r = a(1 + cos θ)）

立体の表面積、側面積を求める公式を以下に示す。

円以下の公式は、正確には積分を使って正当化される。さらに幅広い図形についてこの概念を定義するためには、積分を避けて通ることはできない。

選択公理を受け入れると、「意味のある面積が定義できない図形」が存在することを証明できる（ルベーグ測度を参照）。このような「図形」（簡単に図示することは出来ない）はタルスキーの円積問題 (en:Tarski's circle-squaring problem) に関係している（三次元における類似の例として、「体積の定義できない図形」とバナッハ＝タルスキーのパラドックスがある）。このような集合は実用上現実の世界では生じない。

度量衡換算（面積）
Weisstein, Eric W. “Area”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。
area - PlanetMath.（英語）
{{#invoke:citation/CS1|citation

|CitationClass=citation }}