5の平方根

5の平方根（ごのへいほうこん）は、平方して 5 になる実数である。正のものと負のものの2つがある。正の平方根は

[math]\sqrt{5}[/math]

と書き、「ルート5」と読む。また、負の平方根は

[math]-\sqrt{5}[/math]

である。以下、正の平方根について記述する。

√5 は無理数であることが知られており、したがって小数部分は循環しない。オンライン整数列大辞典によると、十進法表示の小数点以下98桁までは以下の通りである。

2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 70897 24541 05209 25637 80489 94144 14408 37878 227…

語呂合わせでは「富士山麓オウム鳴く（ふじさんろくおうむなく）」などがある。

性質

• √5 は代数的数である。√5 の有理数体 [math]\mathbb Q[/math] 上の既約多項式は x ² − 5 である。
• √5 の連分数表示は

[math]\sqrt{5}=2+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{\cdots}}}}}}}[/math]

となる。

• 黄金比に √5 が登場する。具体的には

[math]\mathbf{1}:{{\mathbf{1}+\mathbf{\sqrt5}}\over\mathbf{2}}[/math]

で表される。

• フィボナッチ数列の一般項に現れる。

[math]F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\} = {{\phi^n - (1-\phi)^{-n}} \over \sqrt{5}}[/math]

で表される。

関連項目

• 平方根
• 2の平方根
• 3の平方根

外部リンク

• 5の平方根の近似値（100万桁）2015年3月30日閲覧