e進法
e 進法とは、記数法の底に自然対数の底（ネイピア数[math]e[/math]）を使った記数法である。（実用的ではないが）ある仮定の下で最も経済的である、という特徴がある。
e 進法が最も経済的な記数法であることの証明
数を [math]x[/math] ( [math]x\gt 0, x \in \mathbb{R}[/math] )進法で表すとしたとき，
この数一桁を表すのに [math]x[/math] 個の記憶素子が要求されるものと仮定する。このとき、[math]n[/math] ( [math]n[/math] は定数)桁の数を表すのに必要な記憶素子の数 [math]N(x)[/math] は，
[math]N(x) = nx[/math]
と表せる．
また， [math]x[/math] 進法で表された [math]n[/math] 桁の数の情報量 [math]I[/math] ( [math]I[/math] は定数， [math]I\gt x[/math] )について，
[math]I = x^n \Leftrightarrow n = \log_{x}I = \frac{\ln I}{\ln x}[/math]
従って， [math]I[/math] の情報量を [math]x[/math] 進法の [math]n[/math] 桁で表すのに必要な記憶素子の数 [math]N(x)[/math] は，
[math]N(x) = nx = \ln I \cdot \frac{x}{\ln x}[/math]
ここで，
[math] \begin{cases} N^{\prime}(x) \lt 0 & 0\lt x\lt 1 \\ N^{\prime}(x) \gt 0 &x\gt 1 \end{cases} [/math]
より， [math]N(x)[/math] を最小にする [math]x[/math] の値を求めるには， [math]N(x)[/math] の微分係数が0となるような [math]x[/math] の値を求めれば良い．
[math] \begin{align} N^\prime(x) & = \ln I \cdot \left( \frac{x}{\ln x} \right)^\prime \\ & = \ln I \cdot \frac{\ln x - 1}{\left( \ln x \right)^2} \\ \end{align} [/math]
[math]\ln x = 1[/math] のとき，[math]N^\prime(x) = 0[/math] であるので，
[math]x = e[/math]
以上より最も高効率な記数法は [math]e[/math] 進法である．