ゴレイ符号

ゴレイ符号（英: Golay code）は、数学の散在型単純群の理論に基づく符号の種類である。名前の由来はスイスの数学者マルセル・J・E・ゴレイ（English版）。

2元ゴレイ符号

拡張2元ゴレイ符号の生成行列

2元ゴレイ符号（英: Binary Golay code）は、デジタル通信に用いられる誤り訂正符号の一種である。

2元ゴレイ符号は2種類存在する。拡張2元ゴレイ符号（extended-）は12ビットのデータを24ビットの符号語に符号化し、任意の3ビットの誤りを訂正可能で、4ビットの誤りを検出可能である。完全2元ゴレイ符号（perfect-）は符号語長23ビットで、拡張2元ゴレイ符号から特定の1ビットを除いたものである（逆に完全2元ゴレイ符号にパリティビットを追加したのが拡張2元ゴレイ符号である）。これらを標準的な符号パラメータで表すと、[24, 12, 8] と [23, 12, 7] である。

数学的定義

数学的には、拡張2元ゴレイ符号は24ビット空間 V=F₂²⁴ の12次部分空間 W からなり、W の任意の2つの元は少なくとも8箇所の座標位置が異なる。同様に W の任意のゼロでない元は、少なくとも8箇所の座標がゼロでない。

W 上に分布するゼロでない座標の集合 w が符号語の集合である。拡張2元ゴレイ符号では、全ての符号語のハミング重みは、0, 8, 12, 16, 24 のいずれかである。
座標の再ラベル付けまで、W は一意である。

完全2元ゴレイ符号は完全符号である。すなわち、符号を中心とする半径3の球がベクトル空間のパーティションを形成する。

完全2元ゴレイ符号の自己同型群は、マシュー群 [math]M_{23}[/math] である。拡張2元ゴレイ符号の自己同型群はマシュー群 [math]M_{24}[/math] である。他のマシュー群は、W の1つ以上の元の不変部分群として得られる。

ハミング重み 8 のゴレイ符号の符号語は、シュタイナー系 S(5,8,24) の元である。

構築

辞書式符号（Lexicographic code）: V 上のベクトルを辞書式順序で並べ替える（すなわち、ベクトルを24ビットの2進数整数と見て順に並べる）。w₁ = 0 を起点とし、整数として小さいほうから順に w₂, w₃, ..., w₁₂ と定義していく。このとき、既定の元の全ての線型合成と比較して少なくとも8箇所の座標が異なるものを選んでいく。W は w₁, ..., w₁₂ のスパンとして定義される。
平方剰余符号: 平方非剰余 (mod 23) の集合 N を考える。これは巡回群 Z/23Z の11要素の部分集合である。この部分集合の変換 t+N を考える。各変換で要素 ∞ を追加することで12要素の集合 S_t を作る。そして V の基底要素を 0, 1, 2, ..., 22, ∞ でラベル付けすると、W は S_t の各元と全基底ベクトルから成る元のスパンとして定義できる。完全符号は、∞ を除けばよい。
巡回符号: 完全 G₂₃ 符号は [math]x^{23}-1[/math] の因数分解からも構築できる。つまり符号は式 [math]x^{11}+x^{10}+x^6+x^5+x^4+x^2+1 / x^{23}-1[/math] から生成される。
R. T. Curtis の "Miracle Octad Generator": 4×6 の配列で、拡張2元ゴレイ符号の759個のハミング重み8の符号語 "Octad" を描く。24種類の部分集合の対称差を利用して（つまり、2進の加算によって）全符号語を得る。
数学ゲーム Mogul の勝ちパターン: Mogul は24枚の硬貨を並べて遊ぶゲーム。初期状態は全硬貨が表。ターン毎に1枚から7枚の硬貨を裏返すが、そのうちの左端の硬貨は表から裏への裏返しでなければならない。裏返せなくなった方が負けである。表を1、裏を0と解釈すれば、拡張2元ゴレイ符号の符号語となるようなパターンにすれば必勝する。

3元ゴレイ符号

3元ゴレイ符号（英: Ternary Golay code）には、相互に関連する2種類の誤り訂正符号が存在する。通常3元ゴレイ符号と言えば、完全 (11, 6, 5) 3元線型符号を指す。拡張3元ゴレイ符号（extended-）は (12, 6, 6) 線型符号であり、(11, 6, 5) の符号にゼロサムのチェックディジットを追加したものである。

拡張3元ゴレイ符号の重み多項式は次の通り。

[math]x^{12}+y^{12}+z^{12}+22(x^6y^6+y^6z^6+z^6x^6)+220(x^6y^3z^3+y^6z^3x^3+z^6x^3y^3)[/math]

完全3元ゴレイ符号は、有限体 F₃ 上の長さ11の平方剰余符号として構築できる。

拡張3元ゴレイ符号の自己同型群は 2.M₁₂ であり、M₁₂ はマシュー群である。

拡張3元ゴレイ符号は、体 F₃ 上の12次アダマール行列の行のスパンから構築可能である。

ゼロでない6つの桁を持つ拡張3元ゴレイ符号の全ての符号語を考えたとき、そのゼロでない桁の位置の集合は、シュタイナー系 S(5, 6, 12) から得られる。