チェバの定理
チェバの定理（ちぇばのていり、Ceva's theorem）とは、平面幾何学の定理の1つである。1678年にジョバンニ・チェバがDe lineis rectisを出版して証明を発表した[1]。
定理
三角形ABCにおいて、三角形の内部に任意の点Oをとり、直線AOとBC、BOとCA、COとABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。なお、点Oは、三角形の内部にあっても外部にあってもよい。
- [math]{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1[/math]
証明の方針
証明法はいくつかあるが、代表的な方針を述べる。
三角形の面積比を使う証明
線分の比を三角形の面積比に置き換えて証明する[2]。 三角形AFOと三角形BFOとは底辺の比がAF：FBで高さが等しいので、
- [math]{AF \over FB}={\triangle AFO \over \triangle BFO}.[/math]
同様にして、三角形AFCと三角形BFCとは底辺の比がAF：FBで高さが等しいので、
- [math]{AF \over FB}={\triangle AFC \over \triangle BFC}.[/math]
この2式より、
- [math]{AF \over FB}={\triangle AFC - \triangle AFO \over \triangle BFC - \triangle BFO}={\triangle AOC \over \triangle BOC}.[/math]
三角形BDOと三角形CDOとは底辺の比がBD：DCで高さが等しいので、
- [math]{BD \over DC}={\triangle BDO \over \triangle CDO}.[/math]
同様にして、三角形BDAと三角形CDAとは底辺の比がBD：DCで高さが等しいので、
- [math]{BD \over DC}={\triangle BDA \over \triangle CDA}.[/math]
この2式より、
- [math]{BD \over DC}={\triangle BDA - \triangle BDO \over \triangle CDA - \triangle CDO}={\triangle BOA \over \triangle COA}.[/math]
三角形CEOと三角形AEOとは底辺の比がCE：EAで高さが等しいので、
- [math]{CE \over EA}={\triangle CEO \over \triangle AEO}.[/math]
同様にして、三角形CEBと三角形AEBとは底辺の比がCE：EAで高さが等しいので、
- [math]{CE \over EA}={\triangle CEB \over \triangle AEB}.[/math]
この2式より、
- [math]{CE \over EA}={\triangle CEB - \triangle CEO \over \triangle AEB - \triangle AEO}={\triangle COB \over \triangle AOB}.[/math]
すなわち、定理の左辺は
- [math]{\triangle AOC \over \triangle BOC} \cdot {\triangle BOA \over \triangle COA} \cdot {\triangle COB \over \triangle AOB}[/math]
であるので1に等しい。
メネラウスの定理を使う証明
チェバの定理はメネラウスの定理を使って容易に証明できる[3]。 三角形ACFに対して線分BOEが交差するので、メネラウスの定理より、
- [math]\frac{AB}{BF} \cdot \frac{FO}{OC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1[/math]
が成り立つ。三角形BCFに対して線分AODが交差するので、メネラウスの定理より、
- [math]\frac{BA}{AF} \cdot \frac{FO}{OC} \cdot \frac{CD}{DB} = 1.[/math]
チェバの定理はこの2つの式の比を計算することで導くことができる。
逆
チェバの定理の逆もまた成り立つ。即ち、任意の三角形ABCにおいて直線AB、BC、CA上に点D、E、Fをとり、D、E、Fのうち三角形ABCの辺上にある点が1個或いは3個の時、
- [math]{AF \over FB} \cdot {BD \over DC} \cdot {CE \over EA} = 1[/math]
が成り立つのならば、3直線AD・BE・CFは1点で交わるか、または3直線AD・BE・CFは平行である。ここで、「平行」を「無限遠点で交わる」と解釈すれば、「3直線AD・BE・CFは1点で交わる」と結論づけることができる。
脚注
- ↑ Weisstein
- ↑ Russell (1905, Ch. 1 §7 Ceva's Theorem)
- ↑ Hopkins (1902, Art. 986)
参考文献
- Hopkins, George Irving (1902), Inductive plane geometry, D.C. Heath & Co.
- Russell, John Wellesley (1905), Pure Geometry, Clarendon Press
関連項目
外部リンク
- テンプレート:高校数学の美しい物語
- チェバの定理とは【高校数学Ａ】 - YouTube
- Weisstein, Eric W. “Ceva's Theorem”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。