パンデジタル数

パンデジタル数(パンデジタルすう、英: pandigital number)・汎位数は、自然数の内 n 進法において0から n − 1 までの全ての数字を少なくとも1つ使って表される数のことである。例えば十進法では0から9までの全ての数字を使った 276498604153 などがパンデジタル数にあたる。パンデジタル数は無数にあり、その内十進法において最も小さいものは1023456789である。

パンデジタル数を1023456789から小さい順に列記すると

1023456789, 1023456798, 1023456879, 1023456897, 1023456978, 1023456987, 1023457689, …(テンプレート:OEIS2C)

n進法における最小のパンデジタル数は以下の式で表される。

[math]n^{n - 1} + \sum_{d = 2}^{n - 1} dn^{(n - 1) - d}[/math]

二進法では10、八進法では10234567、十六進法では1023456789ABCDEFがそれぞれの位取り記数法における最小のパンデジタル数である。

二進法で数を表せば 2ⁿ − 1 の形である 111…1（レピュニット）以外の自然数は全てパンデジタル数であるといえる。

十進法で最小のパンデジタル素数は10123457689である。十進法で数字が重複しないパンデジタル素数（10桁のパンデジタル数のうち素数であるもの）は存在しない。なぜなら10桁のパンデジタル数は各桁の数字の和が 0 + 1 + 2 + … + 9 = 45 となり、3(および9)の倍数となるからである。

11桁のパンデジタル素数で最大のものは98876532401である。

11桁のパンデジタル数の個数は 10! × (11 × 10 ÷ 2) × (9 ÷ 10) = 179625600 個である。

そのうち素数は6481542個である。

10桁のパンデジタル数のうち最大の平方数は 9814072356=99066² である。

0を使わないパンデジタル数では以下の2つのフリードマン数が知られている。

• 123456789 = ((86 + 2 × 7)⁵ - 91) / 3⁴
• 987654321 = (8 × (97 + 6/2)⁵ + 1) / 3⁴