ペル数
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ペル数（ぺるすう、Pell number）は自然数で、n番目のペル数を Pn とおいて以下の式で定義される数列にある項のことである。
- [math]P_1 = 1 , P_2 = 2 \,[/math]
- [math]P_n = 2P_{n-1} + P_{n-2} \quad (n \ge 3)[/math]
ペル数を1から小さい順に列記すると
ペル数は前項を2倍した数と前々項との和になっている。なお0番目のペル数を0と定義する場合もある。
n番目のペル数は
- [math]P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}[/math]
という式で表される。[math]\scriptstyle \left\vert 1-\sqrt 2 \right\vert \lt 1[/math] であるため、nが大きくなるにつれて隣接するペル数の比 Pn+1/Pn は白銀数 [math]\scriptstyle 1+\sqrt 2[/math] に限りなく近付く。
行列では以下のように表現される。
- [math]\begin{pmatrix} P_{n+1} & P_n \\ P_n & P_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n[/math]
ここから以下の恒等式が導かれる。
- [math]P_{n+1}P_{n-1}-P_n^2 = (-1)^n[/math]
この式はペル数をフィボナッチ数に入れ替えても当てはまる。
[math]\displaystyle x^2-2y^2=\pm 1[/math] の自然数解 x,y を小さい順に並べるとyはペル数となる。またその x/y の値は
- [math]\frac{P_{n-1}+P_n}{P_n} = \frac11, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots[/math] とだんだん√2の値に近付く。
ペル数の内累乗数は1と169のみである。
ペル数を使った以下の式で平方三角数を計算できる。
- [math]\bigl((P_{k-1}+P_k)\cdot P_k\bigr)^2 = \frac{(P_{k-1}+P_k)^2\cdot\left((P_{k-1}+P_k)^2-(-1)^k\right)}{2}.[/math]
また以下の式で a2+b2=c2 を満たすピタゴラス数を表すこともできる。
- [math](a,b,c)=(2P_{n}P_{n+1} , P_{n+1}^2 - P_{n}^2 , P_{n+1}^2 + P_{n}^2=P_{2n+1})[/math]