不完全ガンマ関数

数学において、不完全ガンマ関数（ふかんぜんガンマかんすう、英: incomplete gamma function）あるいは、ルジャンドルの不完全ガンマ関数は、ガンマ関数の一般化の一つ。ガンマ関数は定積分を用いて定義されるが、不完全ガンマ関数は不定積分を用いて定義される。

定義

不完全ガンマ関数には2種類あり、ガンマ関数の積分区間[0,∞]を2つに分けて以下のように定義される。

0以上の実数 x と、 実部が正の複素数 a に対し

第1種不完全ガンマ関数 [math]\gamma(a,x)[/math]

[math] \gamma(a,x) = \int_0^x t^{a-1}\,e^{-t}\,dt \,\![/math]

第2種不完全ガンマ関数 [math]\Gamma(a,x)[/math]

[math] \Gamma(a,x) = \int_x^{\infty} t^{a-1}\,e^{-t}\,dt \,\![/math]

性質

ガンマ関数の定義は

[math] \Gamma(a) = \int_0^{\infty} t^{a-1}\,e^{-t}\,dt[/math]

であるから、

[math] \gamma(a,x) + \Gamma(a,x) = \Gamma(a)[/math]

となる。

また、不完全ガンマ関数の定義式に部分積分を用いることで

[math]\begin{align} \gamma(a+1,x) &= a \gamma(a,x) - x^a e^{-x} \\ \Gamma(a+1,x) &= a \Gamma(a,x) + x^a e^{-x} \end{align}[/math]

という関係が成り立つことも分かる。

さらに、以下のような式が成り立つ。

[math]\begin{align} \Gamma(a, 0) &= \Gamma(a) \\ \gamma(a, x) &\to \Gamma(a) \quad (x \to \infty) \\ \Gamma(0, x) &= -\operatorname{Ei}(-x) \quad \text{ for } x \gt 0 \\ \Gamma(1/2, x) &= \sqrt \pi \operatorname{erfc} \left( \sqrt x \right) \\ \gamma(1/2, x) &= \sqrt \pi \operatorname{erf} \left( \sqrt x \right) \\ \Gamma(1,x) &= e^{-x} \\ \gamma(1,x) &= 1 - e^{-x} \end{align} [/math]

ここで、

• Ei : 指数積分
• erf : 誤差関数
• erfc :相補誤差関数で、erfc(x) = 1 − erf(x)

である。

微分

• [math] \frac{\partial \Gamma (a,x) }{\partial x} = - \frac{x^{a-1}}{e^x}[/math]

MeijerのG関数から:

[math]T(m,a,x) = G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0} \!\left( \left. \begin{matrix} 0, 0, \dots, 0 \\ a-1, -1, \dots, -1 \end{matrix} \; \right| \, x \right)[/math]

[math]T(m,a,z) = - \frac{(-1)^{m-1} }{(m-2)! } \frac{{\rm d}^{m-2} }{{\rm d}t^{m-2} } \left[\Gamma (a-t) z^{t-1}\right]\Big|_{t=0} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{a-1+n}}{n! (-a-n)^{m-1} }[/math] 時 [math]|z| \lt 1[/math]

• [math]\frac{\partial \Gamma (a,x) }{\partial a} = \ln x \Gamma (a,x) + x\,T(3,a,x) [/math]
• [math]\frac{\partial^2 \Gamma (a,x) }{\partial a^2} = \ln^2 x \Gamma (a,x) + 2 x[\ln x\,T(3,a,x) + T(4,a,x) ][/math]
• [math]\frac{\partial^m \Gamma (a,x) }{\partial a^m} = \ln^m x \Gamma (a,x) + m x\,\sum_{n=0}^{m-1} P_n^{m-1} \ln^{m-n-1} x\,T(3+n,a,x)[/math] と [math]P_j^n = \left( \begin{array}{l} n \\ j \end{array} \right) j! = \frac{n!}{(n-j)!}.[/math]

参考文献

• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6.)
• G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
• W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, and W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.2.)

関連項目

• 関数一覧
• ガンマ関数
• ゼータ関数
• ベータ関数
• 階乗
• 特殊関数
• 複素解析

外部リンク

• ガンマ関数とベータ関数 (PDF) （日本語）