外延性の公理

外延性の公理(がいえんせいのこうり、英: axiom of extensionality)は、ZF公理系を構成する公理の一つで、「全く同じ要素からなる2つの集合は等しい」ことを主張するものである。

定義

A, Bを任意の集合とするとき、もし任意の集合Xについて「XがAの要素であるならば、そのときに限りXはBの要素である」が成り立つならば、AとBは等しい。すなわち、

[math]\forall A \, \forall B \, ( \forall X \, (X \in A \iff X \in B) \Rightarrow A = B)[/math]

この公理は、「集合はそれが含む要素によって一意に定まる」ことを主張する。例えば、{a, b｝と{b, a｝が等しいことや、{a, a｝が{a}と等しい（すなわち多重集合は存在しない）ことなどが導かれる。

述語論理の公理によりこの公理の逆も成り立つので、実際は

[math]\forall A \, \forall B \, ( \forall X \, (X \in A \iff X \in B) \iff A = B)[/math]

が成り立つことになる。

空集合の公理、対の公理、和集合の公理、冪集合公理で存在が主張される集合はそれぞれ、外延性の公理により一意に定まる。