素数階乗

ファイル:Primorial n plot.png

階乗（黄色）と素数階乗（赤）の値の推移

素数階乗（そすうかいじょう）とは、2 以上の自然数に対してそれ以下の素数全ての総乗のことである。自然数 n の素数階乗は、記号では n# で表す。

2# = 2

3# = 3 × 2 = 6

4# = 3# = 6

5# = 5 × 3# = 30

6# = 5# = 30

これらから分かるように n# は、 n 以下の最大の素数を p として、p# に等しい。p に素数の値を小さい順に代入していくことより、素数階乗の値は小さい順に

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, …(オンライン整数列大辞典の数列 A002110)

数学的性質

• 5# 以上の素数階乗数は全て一の位が 0 であり、十の位は 1, 3, 7, 9 のいずれかに限られる。

5# = 30 以上の数に、7 以上の素数（一の位に 5 を含まない奇数）を掛けても、十の位が 5 や偶数になることはない。

• 素数が無数に存在することの証明の証明に使うことができる。

略証：最大の素数の存在を仮定し、それを p_max とおくと、p_max# + 1 は p_max 以下の約数をもたない。したがって p_max# + 1 は素数であることになるが、これは p_max を最大の素数とした仮定に反する。したがって最大の素数は存在しない。

このように背理法を用いて最大の素数の存在を否定する方法は紀元前から知られていた。

実際に、素数 p に対し p# + 1 の素因数はいずれも p よりも大きく、素数とは限らない。そのような最小の例として、p = 13 がある。

13# + 1 = 30031 = 59 × 509

上記のように、p (= 13) よりも大きな素数が得られる。

• 全ての高度合成数は素数階乗数の累乗数の積で表される。

720 = 2² × 6¹ × 30¹

素数階乗数の最初の20個

p₀₁# = 02# = 2

p₀₂# = 03# = 6

p₀₃# = 05# = 30

p₀₄# = 07# = 210

p₀₅# = 11# = 2310

p₀₆# = 13# = 30030

p₀₇# = 17# = 510510

p₀₈# = 19# = 9699690

p₀₉# = 23# = 223092870

p₁₀# = 29# = 6469693230

p₁₁# = 31# = 200560490130

p₁₂# = 37# = 7420738134810

p₁₃# = 41# = 304250263527210

p₁₄# = 43# = 13082761331670030

p₁₅# = 47# = 614889782588491410

p₁₆# = 53# = 32589158477190044730

p₁₇# = 59# = 1922760350154212639070

p₁₈# = 61# = 117288381359406970983270

p₁₉# = 67# = 7858321551080267055879090

p₂₀# = 71# = 557940830126698960967415390

関連項目

• 階乗
• 階乗素数
• 素数階乗素数