虚数単位

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複素平面（ガウス平面）上の虚数単位 i。横軸は実数全体を表し、それ以外の部分が虚数である。

虚数単位（きょすうたんい、英: imaginary unit）とは、−1 の平方根（2乗して −1 になる数）である2つの数のうちの1つの数のことである（どちらかを特定することはできない）。そのような数を記号で [math]i[/math] または [math]\sqrt{-1}[/math] で表す。

[math]i^2 =-1[/math]

任意の実数の2乗は0以上なので、虚数単位は実数でない。数の概念を複素数に拡張すると登場する数である。

虚数単位の記号 [math]i[/math] は imaginary の頭文字から採られている。ただし、[math]i[/math] を別の意味（電流など）の記号として使う場合は、虚数単位を [math]j[/math] などで表すことがある（どの文字を用いるかは自由である。その場合にはどの文字を用いるかを初めに必ず宣言する）。

積の交換法則が成り立たないことを許容すると、異なる3個以上の虚数単位からなる数の体系（非可換体）を考えることができる。3個の虚数単位の場合は [math]i,j,k[/math]、7つ以上の虚数単位の組には [math]i_1 ,i_2 ,\cdots[/math] といったように一つずつ添字を付けて表すことが多い。

定義

虚数単位 i とは、2次方程式 x² + 1 = 0 の2つの解のうちの一方のことであり、

[math]i^2 =-1[/math] あるいは [math]i=\sqrt{-1}[/math]

とも表すことができる。解の一方を i とすれば、(x + i)(x − i) = 0 より、解の他方は −i である。

「実数の全体と虚数単位 i を含み四則演算が自由にできる（体になる）」集合のうち最小のものを複素数体、その元（要素）を複素数といい、特に実数でない複素数を虚数という。

同様に、「複素数の全体と、複素数でない新たな虚数単位 j を含む最小の体」を四元数体といい、その元を四元数という。このとき、ij = k とおくと、k も虚数単位である。すなわち k² = −1 を満たす。この i, j, k をそのまま虚数単位とすることもできるが、複素数体の場合に −i を i と置き直しても同じ構造であるのと同じように、四元数体 H においても、虚数単位を取り直すことができる。すなわち、R³ の正規直交基底を一組選び、

[math]f\colon\mathbb{R}^3 \to \mathbb{H} \quad ((a,b,c)\mapsto ai+bj+ck)[/math]

によって写した像を新たに i, j, k とおいて虚数単位としてもよい。ただし、基底を左手系に取ると ij = −k となってしまうので、数学的な必然性はないが、慣習として右手系が選ばれる。

つまり虚数単位は、複素数・四元数の範囲を、実数部分と虚数部分に分けた時の、後者の方の基本単位である。八元数・十六元数はさらに多くの虚数単位を持つ。

行列表現

線型代数学（あるいは線型表現）の知識を用いると、虚数単位が行列で表される。実際、

[math]J = \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 &0 \end{pmatrix}[/math]

と定義される行列 J は、J² = −E（E は 2 次単位行列）という性質を持つ。これは、虚数単位 i の左からの積が引き起こす複素数体 C の一次変換を、表現空間 C を2次元実ベクトル空間 R² と見て行列表現することによって得られる。

四元数についても同様に、四元数体 H における積を C² に対して引き起こされる一次変換と見なすことにより

[math] J_1 =i\sigma_3 = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} ,\quad J_2 =i\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} ,\quad J_3 =i\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} [/math]

という三つの虚数単位の行列表現を考えることができる。また、C² と見なすのでなく R⁴ と見なせば、4 次の正方行列として表現することもできる。詳しくは四元数の項を参照されたい。

行列の積は結合的であるので、八元数や十六元数では（結合法則を満たさないため）このような表示はできない。

虚数単位の演算

[math]n[/math] を整数、[math]e[/math] をネイピア数とする。

虚数単位の累乗

[math]i^{\,n} = \begin{cases} 1, & \mbox{if }n\equiv0\pmod4\\ i, & \mbox{if }n\equiv1\pmod4\\ -1, & \mbox{if }n\equiv2\pmod4\\ -i, & \mbox{if }n\equiv3\pmod4 \end{cases} [/math]

虚数単位の虚数単位乗

[math]i^{\,i} =e^{-\left( \frac{1}{\,2\,} +2n\right) \pi}[/math]  

1の虚数単位乗

[math]1^i =e^{-2n\pi}[/math]  

虚数単位の自然対数

[math]\log i=\left( \frac{1}{\,2\,} +2n\right) \pi i[/math]  

参考文献

• ポール・J・ナーイン 『虚数の話』 青土社、2008年

関連項目

• 冪根