複素平面

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複素平面

数学において、数平面（すうへいめん、独: Zahlenebene）あるいは複素数­平面（ふくそすう­へいめん、独: Komplexe Zahlenebene, 英: complex plane）は、数直線あるいは実数直線 (real line) を実軸 (real axis) として含む。x, y が実数であるとき、複素数 x + iy を単に実数の対とみなせば、平面の直交座標 (x, y) の点に対応付けることができる。xy-平面上の y-軸は純虚数の全体に対応し、虚軸 (imaginary axis) と呼ばれる。xy-平面上の点 (x, y) に複素数 z = x + iy を対応させるとき、z-平面とも言う。

1811年頃にガウスによって導入されたため、ガウス平面 (Gaussian plane) とも呼ばれる。一方、それに先立つ1806年に Jean-Robert Argand も同様の手法を用いたため、アルガン図 (Argand Diagram) とも呼ばれている。さらに、それ以前の1797年の Caspar Wessel の書簡にも登場している。このように複素数の幾何的表示はガウス以前にも知られていたが、今日用いられているような形式で複素平面を論じたのはガウスである。三者の名前をとってガウス・アルガン平面、ガウス・ウェッセル平面などとも言われる。

英語名称 complex plane を「直訳」して複素平面と呼ぶことも少なくないが、ここにいう complex は「複素数上の—」という意味ではなく複素数そのものを意味している（複素数の全体を "the complexes" と呼んだり、"α is a complex" などのような用例のあることを想起せよ）。したがって、語義に従った complex plane の直訳は「複素数平面」と考えるべきである（実数全体の成す real line についても同様であり、これは通例「実数直線」と訳され、実直線は多少異なる意味に用いられる）。

概観

ガウス平面を考えるとき、複素数がその平面上の点（あるいはその点を表す位置ベクトル）として表されるということとともに、複素数に対する代数的な演算がガウス平面上の幾何学的操作に対応することが重要である。

複素数の全体 C の代数的に記述できる性質として、加法（和と差を包摂する意味で言う）および実数倍は、ガウス平面上の点としての複素数の全体 C が実数体上（二次元の）ベクトル空間を成すことを説明するものであり、幾何学的には平面上の平行移動および原点中心の拡大縮小に対応する。一方、実数とは限らない複素数を別の複素数に左乗することは、平面上に原点を動かさない反転や回転を含む一次変換を引き起こす。この一次変換を表現する行列を考えることで、複素数を2×2 実行列として実現することができる。

複素数の代数的操作により、ガウス平面上で平行移動と任意の一次変換が行えるから、したがって任意のアフィン変換を施すことが可能である。ここで仮にガウス平面に無限遠点をただ一つ付け加えて、複素数 x + iy を拡張された平面上の点 テンプレート:Bracket と看做せば、拡張された数平面上のアフィン変換は一次分数変換であり、また複素数をアフィン変換を表現する行列として実現することもできる。この拡張された数平面を補完数平面あるいは数球面（リーマン球面）と呼ぶ。

複素数はまた絶対値をも持つが、これはガウス平面においては、その複素数を表す点と原点との間の距離として理解することができる。従って特に任意の非零複素数 z に対して、それを絶対値 テンプレート:Mabs で割った z/テンプレート:Abs を表す点は、原点からの距離が 1, すなわち単位円上に存在するから、単位円上の弧長変数 θ（これを点 1 から測って（すなわちラジアン）、しばしば偏角と呼ぶ）によって特定することができる。ゆえに任意の非零複素数は、絶対値と偏角の二つの幾何学的数値によって確定する。

複素数の積と回転

複素数 z = x + yi（x, y は実数）に対して、点 (x, y) の極座標表示を (r, θ) とすると、x = r cos θ, y = r sin θ が成り立つから、

[math]z=x+yi=r(\cos\theta+i\sin\theta)[/math]

と表すことができる。この右辺の表示を複素数 z の極形式(polar form)と呼ぶ 。

r は z の絶対値 [math]|z|=\sqrt{x^2 +y^2}[/math] に等しく、θ を z の偏角(argument)と呼び、記号で arg z で表す。

[math]\theta=\arg z[/math][math]=\arctan \frac{y}{x}[/math]　　[math](z\neq0)[/math]

(θは2[math]\pi[/math]の整数倍で不確定であり、一つの値ではない。一つの値として扱う場合、[math]-\pi\lt \theta \leqq \pi[/math]のような範囲にあるθの値をz(≠0)の偏角の主値と呼び、大文字のAを使ってArg zで表す）

オイラーの公式 e^iθ = cos θ + i sin θ を使うと、極形式は

[math]z=re^{i\theta}[/math]

と簡単に記述できる。

2つの複素数 z, w に対して、その極形式をそれぞれ z = re^iα, w = se^iβ とする。積 zw を計算すると、

[math](\cos\alpha+i\sin\alpha)\cdot(\cos\beta+i\sin\beta)=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)[/math]

が三角関数の加法定理より成り立つから、

[math]zw=rs\,e^{i(\alpha+\beta)}[/math]

となり、zw の極形式が得られる。すなわち

[math]|zw|=|z||w|,[/math]

[math]\arg zw \equiv \arg z + \arg w \pmod {2\pi}.[/math]

ゆえに、点 zw は点 z を原点を中心に β 回転、s 倍に相似拡大して得られる点だと分かる。

とくに、絶対値が 1 の複素数を掛けることは、複素平面において原点周りの回転を施すことと同等であると分かる。

行列モデル

複素数は、ガウス平面上の点であると同時に、「左からの積」が引き起こす原点を中心とする回転という「平面上の変換」としての側面を併せ持っていることを上で述べた。後者については、複素数体を実数体 R 上の 2 次全行列環の部分体として実現することで、一次変換として捉え直すことができる。

これは、対応

[math]1\leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &1 \end{pmatrix} ,\quad i\leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 &0 \end{pmatrix}[/math]

により、行列の集合

[math]M:=\left\{\left.\begin{pmatrix} a &-b \\ b &a \end{pmatrix} \,\right|\, a, b \in \mathbb{R} \right\}[/math]

が複素数体と同型な体になる（複素数の行列模型）ということを用いる。

M に属する行列 A と複素数 α = a + bi が対応しているとき、A の行列式 det A は a² + b² となり、ちょうど α の絶対値の自乗 |α|²（あるいはノルム N(α)）に一致する。このとき、

[math]S=\frac{1}{|\alpha|} A=\begin{pmatrix} \cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} &\cfrac{-b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\[10pt] \cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} &\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{pmatrix}[/math]

の行列式は 1 で、I₂ を 2 次単位行列として、SS^T = S^TS = I₂ が成り立つ。すなわち、S は直交行列である。また、

[math]\left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \right)^2 +\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right)^2 =1[/math]

であるから、

[math]\cos \theta =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} ,\quad \sin \theta =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}[/math]

を満たす実数 θ が取れて、

[math]S=\begin{pmatrix} \cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}[/math]

と表せる。

行列式が 1 の直交行列は平面上で原点を中心とする回転を与えることは線型代数学でよく知られていることであるが、今の場合特に A = |α|S であるので、A は原点を中心とする |α| 倍の拡大・縮小と原点を中心とする θ 回転の合成でできていることが確認できる。これはちょうど、対応する複素数を極形式で書くのと同じである。特に

[math]M=\left\{ \left. r\begin{pmatrix} \cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix} \, \right| \, r,\theta \in \mathbb{R} \right\}[/math]

と表すことができる。

2つの複素数 α = r(cos θ + i sin θ), ξ = x + yi の積 αξ は α の行列モデル A と複素平面上の点 x = (x, y) という別々の実現を考えることによって、複素数平面上の点 x を一次変換 A で点 Ax に写す操作であると捉えることができることが確認できたわけである。

参考文献

• 竹内端三 『函数概論』 共立社書店、1934年。https://books.google.com/books?id=-ylngTBxvl4C。  第一章: 複素数 (特に §3: 数平面)

関連項目

• 複素数
• オイラーの公式

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Complex Plane”. MathWorld（英語）.
• complex plane in nLab
• topology of the complex plane - PlanetMath.（英語）
• テンプレート:ProofWiki