論理演算
論理演算（ろんりえんざん、logical operation）は、論理式において、論理演算子などで表現される論理関数（ブール関数）を評価し（正確には、関数適用を評価し[1]）、変数（変項）さらには論理式全体の値を求める演算である。
非古典論理など他にも多くの論理の体系があるが、ここでは古典論理のうちの命題論理、特にそれを形式化したブール論理に話を絞る。従って対象がとる値は真理値の2値のみに限られる。また、その真理値の集合（真理値集合）と演算（演算子）はブール代数を構成する。
コンピュータのプロセッサやプログラミング言語で多用されるものに、ブーリアン型を対象とした通常の論理演算の他に、ワード等のビット毎に論理演算を行なう演算があり、ビット演算という。
なお、以上はモデル論的な議論であり、証明論的には、公理と推論規則に従って論理式を変形（書き換え）する演算がある（証明論#証明計算の種類）。
演算の種類
ここでは1出力の関数のみを扱う。2出力以上の関数は、（実装はともかく）論理的には1出力の関数を並べるだけであり自明と言ってよいであろう。以下では、真理値の記号は {0, 1} とする。
1入力
1入力1出力のブール関数は以下の4通りのみであり、その中でトリビアルでない、興味があるものはNOTだけであろう。
- 入力がなんであれ、常に 0 を出力する
- 入力がなんであれ、常に 1 を出力する
- 入力がなんであれ、入力と同じ値をそのまま出力する
- 入力が 0 であれば 1 を、入力が 1 であれば 0 を出力する。すなわち入力の反転（「否定」とも言う）を出力する (NOTあるいはinversion、以下では ¬ の記号を使う)
2入力
2つの入力 P、Q に対し、以下の16通りが全てである。
この節、および以降に続く節では、和に ∨、積に ∧ の記号を使う。
定理
以上の演算に対して成り立っている定理として、以下のようなものがある。（証明論的には（「命題論理の証明論」）、以下の等式のいくつかに相当する公理 and・or 推論規則が採用される）
[math]\begin{align} p \lor p &\equiv p \\ p \land p &\equiv p \\ \end{align}[/math]
[math]\begin{align} p \lor q &\equiv q \lor p \\ p \land q &\equiv q \land p \\ \end{align}[/math]
[math]\begin{align} p \lor(q \lor r) &\equiv (p \lor q)\lor r \\ p \land(q \land r) &\equiv (p \land q)\land r \\ \end{align}[/math]
[math]\begin{align} p \lor(q \land r) &\equiv (p \lor q)\land(p \lor r) \\ p \land(q \lor r) &\equiv (p \land q)\lor(p \land r) \\ \end{align}[/math]
[math]\begin{align} p \lor(p \land q) &\equiv p \\ p \land(p \lor q) &\equiv p \\ \end{align}[/math]
[math]\begin{align} \lnot(p \lor q) &\equiv (\lnot p)\land(\lnot q) \\ \lnot(p \land q) &\equiv (\lnot p)\lor(\lnot q) \\ \end{align}[/math]
- その他
[math]\begin{align} &p \lor 0 \equiv p \\ &p \land 0 \equiv 0 \\ &p \lor 1 \equiv 1 \\ &p \land 1 \equiv p \\ &p \lor (\lnot p) \equiv 1 \\ &p \land (\lnot p) \equiv 0 \\ &\lnot(\lnot p) \equiv p \\ \end{align}[/math]
その他
その他の話題
完全性
（詳細は英語版記事 en:Functional completeness を参照のこと）以上の演算のうち、ごく少数の種類の演算の組み合わせによって、任意の演算を「実装」することができる。そのような演算の組の性質を functional completeness という。∨ と ∧ だけでは完全ではなく、必ず ¬ も必要である。一方 ¬ があれば、∨ と ∧ はどちらか一方でも良い。さらに興味深いものとして、¬ と ∨ あるいは ∧ の組合せである、否定論理積（NAND）や否定論理和（NOR）は、それ一つだけで完全である。なお、→ の記号が使われることが多い「ならば」（imply、論理包含）は微妙な点があり（たとえば、演算子だけでなく定数入力を必要とする）、英語版Wikipediaの Implicational propositional calculus の記事（en:Implicational propositional calculus）では「virtual completeness」と表現している。
注
- ↑ たとえば、三角関数の sin などといった関数それ自体が「関数」であり、sin(3.14) などのように関数と実引数とを結びつけること and・or 結びつけたものを「関数適用」と言う。