曲率
曲率（きょくりつ、英語: curvature）とは曲線や曲面の曲がり具合を表す量である。
例えば、半径 r の円周の曲率は 1/r であり、曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる。この概念はより抽象的な図形である多様体においても用いられる。曲面上の曲線の曲率を最初に研究したのは、ホイヘンスとされ、ニュートンの貢献もさることながら、オイラーは曲率の研究に本格的に取り組んだ。その他モンジュ、ベルヌーイ、ムーニエなども研究した[1]。
曲線の曲率
定義
ある任意の曲線において、線上の点 P0 を基点とし、そこから曲線上の任意点 P（位置ベクトル rP で表されるとする）までの距離を s とする。(この場合のsは一般座標上の距離か曲線上の長さのいずれでもよい。）
このとき 点 Pの位置は、
- [math] \mathbf{r}_P = \mathbf{r}(s) [/math]
というように、変数s の関数として表すことができる。(以下、特に断らない限り rP = r とする。)
このとき、点 P で接する方向の単位ベクトル（これを tP とする）は、
- [math] \mathbf{t}_P = \mathbf{t} (s) = \lim_{\Delta s \to 0} {\mathbf{r} (s + \Delta s) - \mathbf{r} (s) \over {\Delta s} } = {d \mathbf{r} \over {ds} }[/math]
となる。（位置ベクトルの変位分 Δ r が十分小さい時、|Δ r| = Δ s だから単位ベクトルである。）
同様にして
- [math] \mathbf{r}_Q = \mathbf{r} (s + \Delta s) [/math]
と表される点 Qを考えるとき、点 Q 上の単位接線ベクトルtQは、
- [math] \mathbf{t}_Q = \mathbf{t} (s + \Delta s) [/math]
であり、二つの単位接線ベクトルtP 、tQのなす角度を Δθ とすると
- [math]{ \left| \mathbf{t}_Q - \mathbf{t}_P \right| \over 2}= \sin {\Delta\theta \over 2} [/math] であり、Δθが十分小さい、すなわちΔsが十分小さいとき (点Pと点Qが十分接近しているとき）、
- [math] \Delta\theta = \sin\Delta\theta = \left| \mathbf{t}_Q - \mathbf{t}_P \right| [/math] と見做せる。
従って接線傾斜Δθの変動率であるχを以下のように定義できる。
- [math] \chi(s) = { d \mathbf{\theta } \over {ds} } = \lim_{\Delta s \to 0} {\Delta \theta \over {\Delta s} } = \lim_{\Delta s \to 0} \left| {\mathbf{t} (s + \Delta s)-\mathbf{t} (s) \over {\Delta s} } \right | = \left | { d \mathbf{t} \over {ds} } \right | = \left | { d^2 \mathbf{r} \over {ds}^2 } \right | = {1 \over R(s)} [/math]
となる。
一般に χを曲率、χの逆数であるR を曲率半径と言う。
また、特に曲線が高次のとき、Δs → 0 の極限で二つの接線によって決まる平面を、点 P における接触平面と言う。
性質
更に、t を s で微分すると、
- [math] { d \mathbf{t} \over {ds} } = { d^2 \mathbf{r} \over {ds^2} } = \mathbf{n} {d \theta \over {ds} } = {\mathbf{n} \over R} [/math]
が得られる。ここで n が主法線方向の単位ベクトルであり、主法線と接線は直交している。これは d r/ds が単位ベクトルのため、
- [math] \left( {d \mathbf{r} \over {ds} } \right)^2 = \left | { d \mathbf{r} \over {ds} } \right |^2 = 1 [/math]
となり、これを s について微分すると、
- [math] {d \over {ds} } \left( {d \mathbf{r} \over {ds} } \right)^2 = {d^2 \mathbf{r} \over {ds^2} } \cdot {d \mathbf{r} \over {ds} } + {d \mathbf{r} \over {ds} } \cdot {d^2 \mathbf{r} \over {ds^2} } = {\mathbf{n} \over R} \cdot \mathbf{t} + \mathbf{t} \cdot {\mathbf{n} \over R} = 0 [/math]
となるためである（ベクトル同士の内積がゼロとなるので、当該ベクトル同士は直交している）。
ベクトル t と n の外積、
- [math] \mathbf{t} \times \mathbf{n} = \mathbf{b} [/math]
で得られるベクトル b が陪法線方向の単位ベクトルとなる。陪法線は接触平面に対する法線となっている。
出典
- ↑ 小林昭七 『曲線と曲面の微分幾何』 裳華房、1977年8月20日。ISBN 4785311193。