立方数

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立方数(りっぽうすう、cubic number)とは、ある数 n の三乗(立方)となる数である。例えば 125 は 53 であるので立方数である。自然数の最小の立方数は 1 であり、小さい順に列記すると

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000,9261,10648,12167,13824,15625 …(オンライン整数列大辞典の数列 A578

個数が立方数である点を縦、横、高さの三方向に等間隔に並べることで正六面体(立方体)の形を作れることから、「六面数」と呼ばれることもある。例えば216個の点は縦、横、高さの一辺にそれぞれ6個ずつ並べることで正六面体の形を作ることができる。

立方数の性質

1を除く全ての立方数は、2つの平方数の差として表される。

[math]n^3={\sum_{k=1}^n k^3} - \sum_{k=1}^{n-1} k^3 = \left\{ {n(n+1) \over 2} \right\}^2 - \left\{ {n(n-1) \over 2} \right\}^2 \quad n \geqq 2[/math]

フィボナッチ数列に現れる立方数は、1 と 8 のみといわれている。

立方数を2つの立方数の和として表すことはできない。(→フェルマーの最終定理

立方数のうち平方数でもある数は n6 と表せる。また、約数を7個持つ数は素数を6乗した数のみ。

立方数の和

  • 1からn 番目の立方数 N = n3 までのは、
[math]\sum_{k=1}^n k^3=1+8+27+...+N={n^2 (n+1)^2 \over 4}=\left\{ {n (n+1) \over 2} \right\}^2[/math]
となる。つまりn番目の三角数の2乗に等しい。したがって、次の等式が成り立つ[1]
[math]\sum_{k=1}^n k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = ( 1 + 2 + 3 + ... + n )^2[/math]
これは、1 から n 番目までの立方数の和が、1 から n までの自然数の和 (三角数) の2乗に等しいことを意味している。具体的には
1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025,…である。(オンライン整数列大辞典の数列 A000537)
  • 立方数の逆数和は収束し、次のように表される。
[math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} = \frac{2\pi^2}{7} \log 2 + \frac{16}{7} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \log (\sin x) dx[/math]
この値は 1.202056903159594… であり、アペリーの定数とよばれる。
  • すべての自然数は、9個以下の立方数の和として表される(ウェアリングの問題)。このうち丁度9個使用するものは、23239だけである。

立方数と立方和

  • 63 = 33 + 43 + 53
  • 93 = 13 + 63 + 83
  • 203 = 73 + 143 + 173 = 113 + 123 + 133 + 143
  • 663 = 313 + 333 + 353 + 373 + 393 + 413

その他の関連

SI接頭辞kMGなどはそれぞれ 103, 106, 109 であり、立方数である。

関連項目

脚注

  1. この性質は視覚的に証明が可能である。PROBLEM COLLECTION”. . 2015閲覧.

外部リンク

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