倍数

数学において、数 a の倍数（ばいすう、英:multiple）とは、a を整数倍した数、あるいはそれらの総称である。つまり、

… −3a, −2a , −a, 0, a, 2a, 3a, …

を指す。a ≠ 0 ならば、a の倍数は無数に存在する。

a を整数に限ると、a の倍数とは「a で割り切れる整数」のことであり、a の約数（「a を割り切る整数」）と対比されることも多いが、倍数は a が整数でなくても定義できる。

倍数の中で 0 以外は符号の違いだけの組が現れるので、

0, ±a, ±2a, ±3a, …

と表すこともある。とくに a が正の整数で負の数を考えない、あるいは本質的でない場合は（正の）倍数として

a, 2a, 3a, …

だけを考えることも多い。

整数全体からなる集合 [math]\mathbb{Z}[/math] を用いると、a の倍数は [math]a\mathbb{Z}[/math] である。

例

整数の倍数
番号	01	02	03	04	05	06	07	08	09	10
01の倍数	01	02	03	04	05	06	07	08	09	10
02の倍数	02	04	06	08	10	12	14	16	18	20
03の倍数	03	06	09	12	15	18	21	24	27	30
04の倍数	04	08	12	16	20	24	28	32	36	40
05の倍数	05	10	15	20	25	30	35	40	45	50
06の倍数	06	12	18	24	30	36	42	48	54	60
07の倍数	07	14	21	28	35	42	49	56	63	70
08の倍数	08	16	24	32	40	48	56	64	72	80
09の倍数	09	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10の倍数	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

• 2 の倍数は 0, ±2, ±4, ±6, ±8, ±10, ±12, ±14, ±16, ±18, ±20, …
  • 偶数に等しい。
• 3 の倍数は 0, ±3, ±6, ±9, ±12, …
• 12 は 1, 2, 3, 4, 6, 12 のいずれの倍数でもある。
  • 12 の正の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 であることによる。

数学的性質

整数に関する性質

• 0 だけ倍数の個数が有限（0 のみ）である。（したがって 0 の倍数を考えることはあまり意味がない）
• 0 は全ての数の倍数である。
• 全ての数は自分自身の倍数である。
• 全ての整数は 1 と −1 の倍数である。
• 偶数とは 2 の倍数のことである。偶数は「2つの等しい整数の和で表せる数」とも定義できるが、この定義は 2 の倍数であることと同値である。
• a が整数のとき、N が a の倍数であることは、a が N の約数であることと同じ意味である。
• 整数 a, b に対して、b が a で割り切れることと、b の倍数が a の倍数に含まれることは同値である。すなわち、

[math]a\mid b\Leftrightarrow b\mathbb{Z} \subset a\mathbb{Z}[/math]

• 2 以上の整数はある素数の倍数である。
• 素数の倍数全体は、±1 以外の整数全体に等しい。

（→素数が無数に存在することの証明#フュルステンベルグ）

• a の倍数かつ b の倍数であるものを a と b の公倍数という（3個以上の場合でも同様）。ab は a と b の公倍数である。公倍数のうち最小の正の数を最小公倍数という。
  • a と b の公倍数は a と b の最小公倍数の倍数である。
• a の倍数の倍数は a の倍数である。
• P, Q が 共に a の倍数ならば、kP + lQ（k, l は整数）は共に a の倍数である。
  • 特に、P ± Q は a の倍数である
• 有理整数環 [math]\mathbb{Z}[/math] で二項関係を [math]x-y\in a\mathbb{Z}[/math] で定義すると、これは同値関係になる。
  • その商集合 [math]\mathbb{Z} / a\mathbb{Z}[/math] は加法に関するアーベル群である。（→同値関係#商集合の例）

倍数判定法

十進法表記された整数の倍数判定法がいくつか存在する。

• 一の位が偶数（つまり 0, 2, 4, 6, 8）ならば、その数は 2 の倍数である。
• 各桁の数の和（数字和）が 3 の倍数ならば、その数は 3 の倍数である。
• 下（しも）二桁が 4 の倍数（つまり 00, 04, 08, 12, … , 96）ならば、その数は 4 の倍数である。
• 一の位が 5 の倍数（つまり 0 , 5）ならば、その数は 5 の倍数である。
• 下三桁が 8 の倍数（つまり 000, 008, 016, 024, … , 992）ならば、その数は 8 の倍数である。
• 数字和が 9 の倍数ならば、その数は 9 の倍数である。
• 一の位が 0 ならば、その数は 10 の倍数である。
• 下（しも）の桁から数えて奇数番目の位の総和と偶数番目の位の総和の差が 11 の倍数ならば、その数は 11 の倍数である。
• 下二桁が 25 の倍数（つまり 00, 25, 50, 75）ならば、その数は 25 の倍数である。
• 下三桁が 125 の倍数（つまり 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875）ならば、その数は 125 の倍数である。
• これ以外にも先述の倍数判定法を組み合わせることによってあらゆる整数の倍数を判定することができる。いくつかの例を下に示す。
  • 2の倍数判定法と3の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は 6 の倍数である。
  • 4の倍数判定法と5の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は 20 の倍数である。
  • 8の倍数判定法、9の倍数判定法、11の倍数判定法のいずれも満たしていれば、その数は 792 の倍数である。

関連項目

• 倍
• 倍数詞
• 公倍数
• 最小公倍数
• 偶数
• 約数
• 倍数比例の法則
• 倍数性