角速度
| 角速度 angular velocity | |
|---|---|
| 量記号 | ω |
| 次元 | T −1 |
| 種類 | 擬ベクトル |
| SI単位 | ラジアン毎秒 (rad/s) |
運動学において、角速度（かくそくど、英: angular velocity）は、ある点をまわる回転運動の速度を、単位時間に進む角度によって表わした物理量である。言い換えれば角速度とは、原点と物体を結ぶ線分、すなわち動径が向く角度の時間変化量である。特に等速円運動する物体の角速度は、物体の速度を円の半径で割ったものとして与えられる[1]。従って角速度の量の次元[注 1]は、通常の並進運動の速度とは異なり[注 2]、時間の逆数 T−1 となる。
概要
角速度の単位は角度の単位と時間の単位の比によって表わされる。例えば国際単位系においては、角度の単位はラジアン (rad)、時間の単位は秒 (s) であるため、角速度の単位はラジアン毎秒 (rad/s) となる。角速度を表す記号としてはしばしばギリシア文字の ω や Ω が用いられる[2]。
角速度が関係する物理現象としては例えば遠心力やコリオリ力がある。
角速度は、ある座標系における動径の角度の時間微分であるが、角速度の時間微分は角加速度と呼ばれる。また角速度の時間積分はある時刻間における回転角を与える。
角速度の「向き」と「大きさ」
角速度は物体が回転運動する平面に対して時計回りか反時計回りかいずれか一つの方向を正とし、他方を負とするように定義される。また符号の正負は、幾何学的には角速度の向きに対応づけることができる。標準的に用いられる右手系の座標系では、角速度の符号は反時計回りを正として定義され、角速度の向きは右手の法則に従い、回転面が反時計回りに見える方向を向くように定められる。
角速度はしばしばスカラーやベクトルとして扱われるが、鏡映反転により向きが変ってしまう[注 3]などの性質から、厳密にいえば擬スカラーや擬ベクトルとして扱われる。2次元空間上では回転平面の軸は一つに限られるため、角速度は擬スカラーとなり、3次元空間においては回転平面の軸は自由な方向を向くことができるため、角速度は擬ベクトルとなる[注 4]。
また、角速度の絶対値（またはノルム）をしばしば角速度の大きさと呼ぶが、文脈によっては、角速度の大きさを含めて単に「角速度」と呼ぶことがある。
定義
物体の位置を r、速度を v と表せば、物体の角速度 Ω は以下のように定義できる。
- [math]\boldsymbol\Omega = \frac{\boldsymbol{r}}{r} \times \frac{\boldsymbol{v}}{r}.[/math]
ここで r は位置ベクトルのノルム テンプレート:Abs、× はクロス積を表す。このことは以下のように示される。
時刻 t から t + δt の間における物体の運動について、時間 δt が充分に小さく、物体と原点の距離 r が一定であるならば、運動の始点 r(t) と終点 r(t + δt) のなす角 δφ の大きさは物体の変位 δr = r(t + δt) − r(t) によって近似できる。
- [math]|\delta\boldsymbol\phi|r = |\delta\boldsymbol{r}|.[/math]
回転角 δφ の向きを回転軸の方向（すなわち右ねじの進む方向）に一致するように定めると[3]、上記の関係はクロス積を用いて
- [math]\delta\boldsymbol\phi \times \boldsymbol{r} = \delta\boldsymbol{r}[/math]
と書き直すことができる[4]。ここで両辺を時間 δt で割り、δt → 0 の極限をとれば、左辺の δφ は角速度 Ω に、右辺の δr は速度 v に置き換えられる[5]。
- [math]\boldsymbol\Omega \times \boldsymbol{r} = \boldsymbol{v}.[/math]
定義より角速度 Ω は速度 v と位置 r に対して直交するため、クロス積の性質
- [math]\begin{align} \boldsymbol{e}_v &= \boldsymbol{e}_\Omega \times \boldsymbol{e}_r, \\ \boldsymbol{e}_\Omega &= \boldsymbol{e}_r \times \boldsymbol{e}_v \end{align}[/math]
から、最初に述べた関係が得られる。ここでそれぞれ eα = α/テンプレート:Abs (α = r, v, Ω) である。
注釈
出典
- ↑ 江沢 2005, §6 曲線運動.
- ↑ 例えば ω について 江沢 2005, p. 42、新井 2003, p. 167 など。Ω について 江沢 2005, p. 254、ランダウ & リフシッツ 1974, p. 121 など。後者は特に運動座標系に対する一般の角速度に対して用いられている。
- ↑ ランダウ & リフシッツ 1974, §9 角運動量.
- ↑ ランダウ & リフシッツ 1974, §9 角運動量.
- ↑ ランダウ & リフシッツ 1974, §31 角速度.
参考文献
- 江沢, 洋 『力学 ― 高校生・大学生のために』 日本評論社、2005-2-20、初版。ISBN 4-535-78501-5。
- 『力学』 広重, 徹 (訳); 水戸, 巌 (訳)、東京図書〈理論物理学教程〉、1974-10-1、増訂第3版。ISBN 978-4-489-01160-3。