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| − | {{円周率}} | + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | '''円周率の無理性の証明'''（えんしゅうりつのむりせいのしょうめい）は、[[円周率]]が[[無理数]]であること、すなわち円周率の[[小数]]展開が無限に続き、しかも循環しないことの[[証明]]である。円周率が無理数であること自体はよく知られた事実であるが、その証明を目にする機会はあまりない<ref>[[小平邦彦]]は、晩年のエッセイの中で「最近初めて証明を読んだ」と記している（小平 p. 79）。『[[数学セミナー]]』2004年12月号の特集「知っているようで知らない証明に再挑戦」で「{{π}} の[[超越数|超越性]]」が取り上げられた。</ref>。知られている中で最も簡単な証明は、初等的な[[微分積分学]]のみを用いるものである。
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| − | == 歴史 ==
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| − | {{See also|円周率の歴史}}
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| − | 円周率は古代から考察の対象とされ、無理数であることは[[紀元前4世紀]]の[[アリストテレス]]が予想していたが、証明されたのは二千年以上後のことである。[[1761年]]、[[ドイツ]]の[[数学者]][[ヨハン・ハインリッヒ・ランベルト|ランベルト]]は、[[三角関数|正接関数]]の無限[[連分数]]表示
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| − | :<math>\tan x=\cfrac{x}{1-\cfrac{x^2}{3-\cfrac{x^2}{5-\cfrac{x^2}{\ddots\,}}}}</math>
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| − | を用いて、初めて円周率の無理性を示した<ref>歴史については Beckmann 16章 を参照。証明については Hairer & Wanner 1.6節 を参照。ランベルトの原論文は Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques. Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin, année 1761/1768, 265-322 [http://www.kuttaka.org/~JHL/L1768b.pdf pdf ファイル]</ref>。その証明は現代的にはやや不満の残るものであったが、[[1794年]]に[[フランス]]の[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル|ルジャンドル]]は厳密な証明を与え、さらに {{π}}{{sup|2}} も無理数であることを発見した。したがってルジャンドルは {{π}} の無理性よりも強い結果を示した。
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| − | [[20世紀]]には、初等的な微分積分学の知識のみを用いた証明が発見された。そのうち最もよく知られたものは、[[カナダ]]出身の[[イヴァン・ニーベン|ニーベン]]が[[1947年]]に発表した証明<ref>Ivan Niven, ''A simple proof that π is irrational'', Bulletin of the American Mathematical Society, '''53''' (1947), 509. [http://www.ams.org/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08821-2/S0002-9904-1947-08821-2.pdf 論文の PDF ファイル]</ref>である。それ以前の[[1945年]]にも、[[イギリス]]の{{仮リンク|メアリー・カートライト|en|Mary Cartwright}}が似た証明を与えている。彼女はそれを公表しなかったが、後に[[ハロルド・ジェフリーズ|ジェフリーズ]]の著書に収録された<ref>Jeffreys p.268</ref>。[[1949年]]、[[日本]]の[[岩本義和]]は、ニーベンのアイデアを用いて {{π}}{{sup|2}} が無理数であることの初等的な証明を与えた<ref>Aigner & Ziegler 6章。原論文は Y. Iwamoto, ''A proof that {{π}}{{sup|2}} is irrational'', Journal of the Osaka Institute of Science and Technology '''1''' (1949), 147-148.</ref>。
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| − | [[1978年]]、フランスの[[ロジェ・アペリー|アペリー]]は全ての[[立方数]]の[[逆数]][[加法|和]]
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| − | :<math>\frac{1}{1^3} +\frac{1}{2^3} +\frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} +\cdots</math>
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| − | が無理数であることを示した（[[アペリーの定理]]を参照）。この値は、[[ベルンハルト・リーマン|リーマン]]の[[リーマンゼータ函数|ゼータ関数]]
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| − | :<math>\zeta (s)=\frac{1}{1^s} +\frac{1}{2^s} +\frac{1}{3^s} +\frac{1}{4^s} +\cdots</math>
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| − | の ''s'' = 3 における値 ''ζ''(3) である。同様の手法で、彼は全ての[[平方数]]の逆数和
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| − | :<math>\frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\frac{1}{4^2} +\cdots</math>
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| − | すなわち ''ζ''(2) も無理数であることを示した。この[[極限]]は <math>\frac{\pi^2}{6}</math> に等しい、という事実をすでに[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]が示していたので（[[バーゼル問題]]を参照）、これはルジャンドルが示したことと[[同値]]である。すなわち、アペリーの証明は {{π}}{{sup|2}} が無理数であることの別証明になっている。
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| − | == 証明 ==
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| − | 本節では、ニーベンの証明を紹介する。原論文は必要最低限の記述しかないが、ここではいくらか解説を加えている。円周率 {{π}} は、[[三角関数|正弦関数]] sin ''x'' の正の[[零点]]の中で最小のものとする<ref>[[初等教育]]においては、円周率の定義は「円周長の直径に対する比率」と学ぶ。この定義は初学者には受け入れ易いものの、現代数学の観点からは、[[曲線]]の長さの定義に依存しているという問題がある。そのため、現代数学においては、別の定義が採用されることが多い。[[円周率#定義]]も参照のこと。どの定義も結果的に同じ定数を定めることが従う。</ref>。証明は[[背理法]]による。{{π}} は有理数である、すなわち、<math>\pi =\frac{a}{b}</math>（''a'', ''b'' は[[正の数と負の数|正]]の[[整数]]）と表せると仮定して、[[矛盾]]を導く。
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| − | [[自然数]] ''n'' に対して、[[実数|実]][[関数 (数学)|関数]] ''f{{sub|n}}''(''x'') を
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| − | :<math>f_n (x)=\frac{1}{n!} x^n (a-bx)^n</math>
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| − | で定義する。さらに、
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| − | :<math>F_n (x)=f_n (x)-f_n^{(2)} (x)+f_n^{(4)} (x)-\cdots +(-1)^n f_n^{(2n)} (x)</math>
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| − | とおく。ここで、''f''{{sup|(''k'')}} は ''f'' の ''k'' 階[[微分]]を表す。
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| − | '''補題 1'''：''F{{sub|n}}''(0) は整数である。
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| − | '''証明'''：''f{{sub|n}}''(''x'') の定義式を[[二項定理|二項展開]]すると、
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| − | :<math>f_n (x)=\frac{1}{n!} \left\{ a^n x^n -\binom{n}{1} a^{n-1} bx^{n+1} +\binom{n}{2} a^{n-2} b^2 x^{n+2} -\cdots +(-1)^n b^n x^{2n} \right\}</math>
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| − | ''f{{sub|n}}''{{sup|(''k'')}}(''x'') に ''x'' = 0 を代入することを考える。
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| − | ''k'' < ''n'' のときは、''f{{sub|n}}''{{sup|(''k'')}}(''x'') の各項は全て1次以上だから、''f{{sub|n}}''{{sup|(''k'')}}(0) = 0。
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| − | | |
| − | ''n'' ≤ ''k'' ≤ 2''n'' のときは、''x'' = 0 を代入する際に、1次以上の項は同様に 0 となるため、定数項のみが残り、
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| − | :<math>f_n^{(k)} (0)=\frac{1}{n!} \left\{ (-1)^{k-n} \binom{n}{k-n} a^{2n-k} b^{k-n} x^k \right\}^{(k)} =(-1)^{k-n} \frac{k!}{n!} \binom{n}{k-n} a^{2n-k}b^{k-n}</math>
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| − | となる。
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| − | | |
| − | ''n'' ≤ ''k'' ≤ 2''n'' より <math>\frac{k!}{n!}</math>, ''a''{{sup|2''n''−''k''}}, ''b''{{sup|''k''−''n''}} は整数であるから、''f{{sub|n}}''{{sup|(''k'')}}(0) は整数である。
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| − | | |
| − | ゆえに、''f{{sub|n}}''{{sup|(''k'')}}(0) の[[加法|和]]・[[減法|差]]である ''F{{sub|n}}''(0) は整数である。
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| − | '''補題 2'''：''F{{sub|n}}''({{π}}) = ''F{{sub|n}}''(0)
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| − | '''証明'''：<math>\pi =\frac{a}{b}</math> より ''f{{sub|n}}''({{π}} − ''x'') = ''f{{sub|n}}''(''x'') 、この両辺を ''k'' 階[[微分]]すると、[[連鎖律]]（合成関数の微分法則）より、
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| − | :<math>(-1)^k f_n^{(k)}(\pi -x)=f_n^{(k)} (x)</math>
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| − | が（正確には[[数学的帰納法]]により）分かる。''k'' = 0, 2, 4, …, 2''n'' を代入して得られる式の総和を取ると、
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| − | :<math>F_n (\pi -x)=F_n (x)</math>
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| − | を得る。''x'' = 0 を代入すると、補題の式が得られる。
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| − | '''補題 3'''：<math>\int_0^\pi f_n (x)\sin x\,dx=2F_n (0)</math>
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| − | | |
| − | '''証明'''：deg ''f{{sub|n}}'' = 2''n'' より ''f{{sub|n}}''{{sup|(2''n''+2)}}(''x'') = 0、ゆえに、
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| − | :<math>F''_n (x)+F_n (x)=f_n (x)</math>
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| − | これと、積の微分法、三角関数の微分の公式（[[微分法#性質]]参照）を用いると、
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| − | :<math>(F'_n (x)\sin x-F_n (x)\cos x)'=f_n (x)\sin x</math>
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| − | を得る。[[微分積分学の基本定理]]より、
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| − | :<math>\int_0^\pi f_n (x)\sin x\, dx=\bigg[ F'_n (x)\sin x-F_n (x)\cos x\bigg]_0^\pi =F_n (\pi )+F_n (0)</math>
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| − | となる。最後の等式では、{{π}} が正弦関数の零点であることを用いた。補題 2 より、これは 2''F{{sub|n}}''(0) に等しい。
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| − | '''結び'''： 0 < ''x'' < {{π}} の範囲では ''f{{sub|n}}''(''x'') > 0 かつ sin ''x'' > 0 である（{{π}} は正弦関数の正の零点のうち「最小の」ものであることに注意）。ゆえに、''f{{sub|n}}''(''x'') sin ''x'' > 0, 補題 3 より ''F{{sub|n}}''(0) > 0 である。次に、この ''F{{sub|n}}''(0) を上から評価する。
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| − | :<math>x(\pi -x)=-\left( x-\frac{\pi}{2} \right)^2 +\left( \frac{\pi}{2} \right)^2 \le \left( \frac{\pi}{2} \right)^2</math>
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| − | より、
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| − | :<math>f_n (x)=\frac{b^n}{n!} \left\{ x(\pi -x) \right\}^n \le \frac{b^n}{n!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2n}</math> | |
| − | を得る。0 ≤ ''x'' ≤ {{π}} で 0 ≤ sin ''x'' ≤ 1、補題 3 より、
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| − | :<math>F_n (0)=\frac{1}{2} \int_0^\pi f_n (x) \sin x\,dx \le \frac{1}{2} \int_0^\pi \frac{b^n}{n!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2n} \times 1\,dx=\frac{b^n}{n!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2n+1}</math>
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| − | ここで、自然数 ''n'' は任意である。一般に、<math>\lim_{n\to \infty} \frac{p^n}{n!} =0</math> が成り立つ。したがって、十分大きな ''n'' に対して 0 < ''F{{sub|n}}''(0) < 1 が成り立つ。これは補題 1 に矛盾する。（証明終）
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| − | == Cartwright の証明 ==
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| − | Mary Cartwright が1945年に提出した証明は、起源が不確かだが、知られている。
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| − | <math>\frac{\pi}{2} =\frac{b}{a}</math> と置き、自然数 ''n'' に対し、
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| − | :<math>I_n (x)=\int_{-1}^1 (1-z^2)^n \cos xz\,dz</math>
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| − | と置く。このとき、<math>\frac{b^{2n+1}}{n!} I_n \left( \frac{\pi}{2} \right)</math> は整数となる。また、十分大きな ''n'' に対し、<math>0<\frac{b^{2n+1} I_n \left( \frac{\pi}{2} \right)}{n!} <1</math> が言える。これらは矛盾する。
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| − | == L. Zhou と L. Markov の証明 ==
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| − | ニーベン・インケリの定理より、{{math|''s''<sup>2</sup>}} が {{math|0}} でない有理数ならば、{{math|cos ''s''}} は無理数である。{{math|1=cos ''π'' = −1}} は有理数であるから、{{math|''π''<sup>2</sup> ≠ 0}} は無理数である<ref name = "円周率は無理数"> L. Zhou and L. Markov, ''Recurrent Proofs of the Irrationality of Certain Trigonometric Values'', {{arXiv|id=0911.1933}}.</ref>（したがって {{math|''π''}} も無理数である）。
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| − | Zhou–Markov は {{math|''π''}} が無理数であることの別の初等的な証明も与えている<ref name = "円周率は無理数" />。
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| − | ニーベン・インケリの定理の証明を次に示す<ref name = "円周率は無理数" />。
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| − | 整数 {{math|n ≥ 0}} に対して
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| − | :<math>g_n(x) = \frac{(r^2 x^2 - x^4)^n}{n!}</math>
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| − | とおき
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| − | :<math>
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| − | \begin{align}
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| − | I_n &= \int_{0}^{r} g_n(x) \sin(r-x)dx,\\
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| − | J_n &= \int_{0}^{r} x g_n(x) \cos(r-x)dx,\\
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| − | K_n &= \int_{0}^{r} x^2 g_n(x) \sin(r-x)dx,\\
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| − | L_n &= \int_{0}^{r} x^3 g_n(x) \cos(r-x)dx,\\
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| − | \end{align}
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| − | </math>
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| − | とおく。{{math|n {{=}} 0}} のときの積分をすると
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| − | :<math>
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| − | \begin{align}
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| − | I_0 &= J_0 = 1-\cos r,\\
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| − | K_0 &= r^2-2-2\cos r,\\
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| − | L_0 &= 3K_0,\\
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| − | \end{align}
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| − | </math>
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| − | である。各積分を1回ずつ部分積分することにより、{{math|n > 0}} に対して次の漸化式を得る。
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| − | :<math>
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| − | \begin{align}
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| − | I_n &= 4L_{n-1}-2r^2 J_{n-1},\\
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| − | J_n &= (4n+1)I_n-2r^2 K_{n-1},\\
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| − | K_n &= -(4n+2)J_n+2r^2 L_{n-1},\\
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| − | L_n &= (4n+3)K_n+2nr^2I_n-2r^4 K_{n-1}.\\
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| − | \end{align}
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| − | </math>
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| − | これらより、{{math|''I <sub>n</sub>'' , ''J <sub>n</sub>'' , ''K <sub>n</sub>'' , ''L <sub>n</sub>''}} は、すべて
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| − | :<math>
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| − | \begin{align}
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| − | u_n(R)+v_n(R)\cos r
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| − | \end{align}
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| − | </math>
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| − | の形になる。ただし、{{math|''u <sub>n</sub>'' ( ''R'' )}} と {{math|''v <sub>n</sub>'' ( ''R'' )}} は整数係数の {{math|''R'' {{=}} ''r'' <sup>2</sup>}} の多項式で、次数は高々 {{math|2 ''n'' + 1}} である。
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| − | :<math>
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| − | \begin{align}
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| − | I_m = J_m = K_m = L_m = 0\\
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| − | \end{align}
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| − | </math>
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| − | だと仮定すると
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| − | :<math>
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| − | \begin{align}
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| − | I_0 = J_0 = K_0 = L_0 = 0\\
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| − | \end{align}
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| − | </math>
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| − | である。ところが
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| − | :<math>
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| − | \begin{align}
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| − | 2I_0 + K_0 = r^2 \ne 0\\
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| − | \end{align}
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| − | </math>
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| − | なので矛盾である。したがって、{{math|''I <sub>n</sub>'' , ''J <sub>n</sub>'' , ''K <sub>n</sub>'' , ''L <sub>n</sub>''}} のうち少なくとも1つは、無限に多くのゼロでない項を持つ。それを {{math|''M <sub>n</sub>''}} とおく。
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| − | | |
| − | さて
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| − | :<math>
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| − | \begin{align}
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| − | R = r^2 = {a \over b} \ne 0\\
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| − | \end{align}
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| − | </math>
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| − | が有理数で
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| − | :<math>
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| − | \begin{align}
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| − | \cos r = {p \over q}\\
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| − | \end{align}
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| − | </math>
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| − | も有理数だと仮定する。すると、{{math|''qb'' <sup>2''n'' + 1</sup> ''M''<sub>''n''</sub>}} は整数で、{{math|''n'' → ∞}} のとき限りなく小さくなる。したがって十分大きな {{mvar|''n''}} に対して、{{math|''qb'' <sup>2''n'' + 1</sup> ''M''<sub>''n''</sub> {{=}} 0}} となり、{{math|''M''<sub>''n''</sub> {{=}} 0}} となる。これは矛盾である。ゆえに、ニーベン・インケリの定理が証明された。
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| − | == ランベルトによる証明 ==
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| − | {{math|0}} でない有理数 {{mvar|y}} に対する値 {{math|''x'' {{=}} arctan ''y''}} は無理数であるから、{{math|π {{=}} 4 arctan 1}} は無理数である<ref name = "円周率は無理数" />。
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| − | == より進んだ結果と未解決問題 ==
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| − | ルジャンドルは {{math|''π''{{sup|2}}}} が無理数であることを示したが、現在では {{mvar|π}} の[[冪乗|累乗]]は全て無理数であることが知られている。実際、ドイツの[[フェルディナント・フォン・リンデマン|リンデマン]]は、[[1882年]]に {{mvar|π}} が[[超越数]]であることを示した。これは、さらに一般的な[[リンデマンの定理]]<ref>[[1885年]]に[[カール・ワイエルシュトラス|ワイエルシュトラス]]が証明を簡潔にしたので、'''リンデマン–ワイエルシュトラスの定理'''とも呼ばれる。Beckmann 16章 を参照。定理の主張と証明については 塩川 2.7節 を参照。</ref>の特別な場合である。この定理は、円周率のみならず、[[ネイピア数]] {{mvar|e}}, [[2の自然対数]] {{math|log 2}}, {{math|1}} の[[三角関数|正弦]] {{math|sin 1}} などが超越数であることを導く、非常に強力なものである。また、ネステレンコは {{mvar|π}} と {{math|''e<sup>π</sup>''}} が {{mathbf|Q}} 上[[体の拡大#代数性・超越性|代数的独立]]であることを示した<ref>塩川 p. 93.</ref>。この事実は、{{mvar|π}} が無理数であることや超越数であることを内包している。
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| − | | |
| − | これらの進んだ結果が知られているにもかかわらず、円周率の性質が十分判明したとはいえない。例えば、その（任意の記数法において）小数展開の数字列が十分に「乱数的」であるといえるか（「真の乱数」による乱数列と、何か異なった性質がありはしないか）、例えば[[正規数]]であるか、という問題は（そうであろうとは一般に信じられてはいるが）未解決である。また、{{π}}{{sup|{{π}}}} や {{π}} + ''e'' のような単純な[[数学定数|定数]]についても、無理数であるかどうかも分かっていないようなものがある。
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| − | == 脚注 ==
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| − | {{脚注ヘルプ}}
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| − | {{reflist}}
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| − | | |
| − | == 参考文献 ==
| |
| − | *M. Aigner and G. M. Ziegler, ''Proofs from the Book'', 3rd edition, Springer, 2003. ISBN 3540404600
| |
| − | **蟹江幸博訳『天書の証明』シュプリンガー・フェアラーク東京、2002年（2nd edition の訳）ISBN 443170986X
| |
| − | *P. Beckmann, ''History of Pi'', 3rd edition, St. Martin's Press, 1971 ISBN 0312381859
| |
| − | **田尾陽一・清水韶光訳『{{π}} の歴史』[[筑摩書房]]、2006年 ISBN 4480089853
| |
| − | *E. Hairer and G. Wanner, ''Analysis by Its History'', Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1996 ISBN 0387945512
| |
| − | **蟹江幸博訳『解析教程』シュプリンガー東京、2006年（上巻）ISBN 4431712135（下巻）ISBN 4431712143
| |
| − | *H. Jeffreys, ''Scientific Inference'', 3rd edition, Cambridge University Press, 1973 ISBN 0521084466
| |
| − | *[[小平邦彦]]編『数学の学び方』[[岩波書店]]、1987年 ISBN 4000055119
| |
| − | *{{Cite book|和書|author=塩川宇賢|authorlink=塩川宇賢|date=1999-03-30|title=無理数と超越数|publisher=森北出版|isbn=4-627-06091-2|ref=塩川1999|url=http://www.morikita.co.jp/shoshi/ISBN978-4-627-06091-3.html}} - 20～21頁に円周率の無理性の証明が掲載されている。
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| − | | |
| − | == 関連項目 ==
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| − | *[[ネイピア数の無理性の証明]]
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| − | *[[円周率が22/7より小さいことの証明|円周率が{{sfrac|22|7}}より小さいことの証明]]
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| − | | |
| − | {{DEFAULTSORT:えんしゆうりつのむりせいのしようめい}}
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| − | | |
| − | [[Category:円周率|むりせいのしようめい]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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