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| − | {{複数の問題|
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| − | |出典の明記=2012年12月3日 (月) 08:32 (UTC)
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| − | |正確性=2017年11月15日 (水) 15:25 (UTC)
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| − | }}
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| − | '''円柱座標変換'''（えんちゅうざひょうへんかん）とは、3次元[[ユークリッド空間 ]]（[[数ベクトル空間]])の、[[非線形]]な[[座標変換]]の一つである。円柱座標変換の逆写像<ref name=entyuzahyou group="注釈">厳密には、円柱座標系は大域的には逆写像を持たない。ただ、特異点上を除き、その近傍においては、局所的な逆写像を持つ（円柱座標系と円柱座標変換、[[逆写像定理]]の項目を参照のこと）。</ref>のことを、円柱座標系という。円柱座標系は、[[極座標系]]の一種である<ref group="注釈">極座標系は、[[直交曲線座標系]]の一種であるから、円柱座標系は直交曲線座標系であり、直交曲線座標系は直交座標系の一種なので、円柱座標系は直交座標系の一種である。</ref>。
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| − | 円柱座標変換は、[[電子レンズ]]など、[[軸対称]]な系の計算によく用いられる<ref name=zikutai group="注釈">軸対称でない系に対しても適用可能である。また、本稿でも、特に注意をしない場合には軸対称でない系を除外していない。しかし、軸対称でない系に対してはあまり威力のない手法である。</ref>。
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| − |
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| − | == 定義 ==
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| − | === 定義 ===
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| − | 円柱座標変換Φとは、
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| − | :<math>\left( \begin{matrix}
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| − | x \\
| |
| − | y \\
| |
| − | z \\
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| − | \end{matrix} \right)=\Phi (r,\theta ,\zeta )=\left( \begin{matrix}
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| − | r\cos \theta \\
| |
| − | r\sin \theta \\
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| − | \zeta \\
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| − | \end{matrix} \right)</math> (1-1-1)
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| − |
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| − | で表される、''r'' -θ-ζ空間から''x'' -''y'' -''z'' 空間への多変数ベクトル値関数のことである。式（1-1-1）で定義されたΦに相似変換、場合によっては正則な[[アフィン変換]]を施したものも、円柱座標変換ということがあるので、特に混乱が生じる場合には（1-1-1）で定義されたΦを標準的な円柱座標変換ということにする。
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| − |
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| − | === r-θ-ζ空間、x-y-z空間の正体 ===
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| − | 数学的には、''r'' -θ-ζ空間、''x'' -''y'' -''z'' 空間は、共に3次元実[[数ベクトル空間]]（<math>\mathbb{R}^{3}</math>）である<ref group="注釈">3次元実数ベクトル空間<math>\mathbb{R}^{3}</math>とは、集合としては
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| − |
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| − | :<math>{{\mathbb{R}}^{3}}=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
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| − | {{x}_{1}} \\
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| − | {{x}_{2}} \\
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| − | {{x}_{3}} \\
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| − | \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
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| − | {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\in \mathbb{R} \\
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| − | \end{matrix} \right. \right\} \right.</math> (1-2-1)
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| − |
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| − | である。つまり、3つの実数<math>{x}_{1}\ ,\ {x}_{2}\ ,\ {x}_{3}</math>を用いて
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| − |
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| − | :<math>\left( \begin{matrix}
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| − | {{x}_{1}} \\
| |
| − | {{x}_{2}} \\
| |
| − | {{x}_{3}} \\
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| − | \end{matrix} \right)</math> (1-2-2)
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| − |
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| − | の形で表せるもの全てを集めてきたものである。</ref>。''r'' -θ-ζ空間においては、第一軸方向を''r'' 方向（''r'' 軸）、第二軸方向をθ方向（θ軸）、第三軸方向をζ方向（ζ軸）とする。''x'' -''y'' -''z'' 空間においても同様に、第一軸方向を''x'' 方向（''x'' 軸）、第二軸方向を''y'' 方向（''y'' 軸）、第三軸を''z'' 方向（''z''軸）とする。この三軸によって定まる座標系を、「''x'' -''y'' -''z'' 空間の標準座標系」（''O-xyz'' 系）という<ref group="注釈">3次元実数ベクトル空間<math>\mathbb{R}^{3}</math>における第一軸、第二軸、第三軸とは、それぞれ以下の'''n'''<sub>1</sub> , '''n'''<sub>2</sub> , '''n'''<sub>3</sub> で定まる方向である。
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| − |
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| − | :<math>{{\mathbf{n}}_{1}}=\left( \begin{matrix}
| |
| − | 1 \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math>, <math>{{\mathbf{n}}_{2}}=\left( \begin{matrix}
| |
| − | 0 \\
| |
| − | 1 \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math>, <math>{{\mathbf{n}}_{3}}=\left( \begin{matrix}
| |
| − | 0 \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | 1 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (1-2-3)
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| − |
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| − | 本記事における'''n'''<sub>1</sub> , '''n'''<sub>2</sub> , '''n'''<sub>3</sub> は、[[線形代数]]学の教科書ではふつう'''e'''<sub>1</sub> , '''e'''<sub>2</sub> , '''e'''<sub>3</sub> と書かれている。ただ、[[ベクトル解析]]の教科書では、'''e'''<sub>1</sub> , '''e'''<sub>2</sub> , '''e'''<sub>3</sub> という記号は、『「本項目における'''n'''<sub>1</sub> , '''n'''<sub>2</sub> , '''n'''<sub>3</sub> の意味」なのか、後述（「円柱座標変換系の法線ベクトル」の項目）の「'''N'''<sub>r</sub> , '''N'''<sub>θ</sub> , '''N'''<sub>ζ</sub> 」なのかが本によってまちまちであり、その区別も曖昧であるため、厳密に区別するべくこのような記号体系とした。尚、''i'' , ''j'' , ''k'' という記号も、ベクトル解析の教科書や物理学の教科書でよく使われるが、これも教科書間で意味が異なって使われることがあるので採用しないことにした。</ref>。
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| − |
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| − | === 定義域 ===
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| − | 式(1-1-1)の円柱座標変換''Φ'' は''r'' -''θ''-''ζ''空間のすべての点において、矛盾なく定義がされている。例えば、
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| − | :<math>\Phi (-3,2\pi ,7)=\left( \begin{matrix}
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| − | -3 \\
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| − | 0 \\
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| − | 7
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| − | \end{matrix} \right)</math> (1-3-1)
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| − | のように、どのような (''r'', ''θ'', ''ζ'') に対しても、ただ一つの行き先を定めることができる<ref name=syazou2 group="注釈">[[写像]]として[[Well-defined]]である。</ref>。
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| − |
| |
| − | しかし、本記事では特段の断りがない限り、''Φ'' の定義域は式(1-3-2) に定める領域 ''V'' に制限されているものとする。''V'' は、''r'' -''θ''-''ζ'' の部分集合であり、[[閉集合]]である（[[開集合]]ではない）。
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| − |
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| − | <math>V=\left\{ \left. \begin{pmatrix}
| |
| − | r \\
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| − | \theta \\
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| − | \zeta
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| − | \end{pmatrix} \left| \ \begin{array}{l}
| |
| − | 0\le r \\
| |
| − | 0\le \theta \le 2\pi \\
| |
| − | -\infty <\zeta <\infty
| |
| − | \end{array} \right. \right\} \right.</math> (1-3-2)
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| − |
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| − | つまり、''Φ'' に代入されるものは、
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| − | :<math>\left\{ \begin{array}{l}
| |
| − | 0\le r \\
| |
| − | 0\le \theta \le 2\pi \\
| |
| − | -\infty < \zeta <\infty
| |
| − | \end{array} \right.</math> (1-3-3)
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| − | のすべての条件を満たす点全てに限って考えることにする。
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| − |
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| − | ''Φ'' の定義域を式(1-3-2) の ''V'' に制限してもよい理由は、[[全射性]]が保たれていることによる<ref name=tansya group="注釈">われわれの流儀では、単射性は確保されていない。''Φ'' の定義域をさらに制限して、
| |
| − | :<math>\left\{ \begin{align}
| |
| − | 0<r \\
| |
| − | 0\le \theta \le 2\pi \\
| |
| − | -\infty <\zeta <\infty \\
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| − | \end{align} \right.</math>
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| − | とすれば単射性が確保できるが、今度は全射性がなくなる。逆写像を求める場合には単射性を重視したほうがよいが、積分を考える時には、定義域が閉集合であることと全射性を重視したほうがよく、一概にどちらの定義域を採用したほうがよいとは言えない。</ref><ref name=zensya group="注釈">ここでは、全射性とは''x''-''y''-''z'' 空間の全ての点を、上記の定義域内の点 (''r'' , ''θ'', ''ζ'') を適切に選ぶことで
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| − | :<math>\left( \begin{matrix}
| |
| − | x \\
| |
| − | y \\
| |
| − | z \\
| |
| − | \end{matrix} \right) =\Phi (r,\theta ,\zeta )</math>
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| − | の形で表せることを意味する。</ref>。
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| − |
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| − | === 円柱座標系との関係 ===
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| − | {{see also|円柱座標系}}
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| − | ''x'' -''y'' -''z'' 空間に、標準座標系（''O-xyz'' 系；「''r'' -θ-ζ空間、''x'' -''y'' -''z'' 空間の正体」の項参照）が定められているとする。このとき、円柱座標系''P'' とは、
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| − |
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| − | :<math>\left( \begin{matrix}
| |
| − | r \\
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| − | \theta \\
| |
| − | \zeta \\
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| − | \end{matrix} \right)=
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| − | P (x,y ,z)=</math><math>\left( \begin{matrix}
| |
| − | \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \\
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| − | \theta (x,y,z) \\
| |
| − | z \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (1-4-1)
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| − |
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| − | で表される、''x'' -''y'' -''z'' から''r'' -θ-ζ空間への多変数ベクトル値関数のことである。但し、θ(''x'' , ''y'' , ''z'') は、以下の定義式(1-4-2)で与えられるスカラー値関数である。θ(''x'' , ''y'' , ''z'') の定義域は''x'' -''y'' -''z'' 空間の原点以外である。その他の成分は、''x'' -''y'' -''z'' 空間全域で定義されている。従って、円柱座標系''P'' の定義域は、''x'' -''y'' -''z'' 空間の原点以外である。
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| − |
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| − | :<math>\theta (x,y,z)=\left\{ \begin{matrix}
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| − | {{\tan }^{-1}}(y/x) & (x>0,y>0) \\
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| − | \frac{\pi}{2} & (x=0,y>0) \\
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| − | \pi+{{\tan }^{-1}}(y/x) & (x<0) \\
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| − | \frac{3\pi}{2} & (x=0,y<0) \\
| |
| − | 2\pi+{{\tan }^{-1}}(y/x) & (x=0,y<0) \\
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| − |
| |
| − | \end{matrix} \right.</math> (1-4-2)
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| − |
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| − | 円柱座標系は、以下の手順で、幾何学的に理解することもできる。
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| − |
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| − | *任意の点Pからxy平面に下した垂線の足をQとする。
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| − | *線分OQの長さをrとする。
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| − | *線分QPの長さをζとする。
| |
| − | *x軸と線分OQのなす角度をθとする。
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| − |
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| − | また、円柱座標系と円柱座標変換は、相互に逆変換となっている。
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| − |
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| − | == 微分 ==
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| − | === 微分 ===
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| − | 円柱座標変換の[[偏導関数]]は、
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| − |
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| − | :<math>\frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta,\zeta)=\left( \begin{matrix}
| |
| − | \cos\theta \\
| |
| − | \sin\theta \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (2-1-1)
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| − |
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| − | :<math>\frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,\zeta )=\left( \begin{matrix}
| |
| − | -r\sin (\theta ) \\
| |
| − | r\cos (\theta ) \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (2-1-2)
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| − |
| |
| − | :<math>\frac{\partial \Phi }{\partial \zeta}(r,\theta,\zeta)=\left( \begin{matrix}
| |
| − | 0 \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | 1 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (2-1-3)
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| − |
| |
| − | である。これらの定義域は、''r'' -θ-ζ空間全域である。
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| − |
| |
| − | 従って、円柱座標変換の点 (''r'' , θ, ζ) における[[ヤコビ行列]]''J'' Φ(''r'' , θ, ζ) および[[ヤコビアン]] det(''J'' Φ(''r'' , θ, ζ)) は以下のようになる。ヤコビ行列、ヤコビアン共に定義域は''r'' -θ-ζ空間全域である。
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| − |
| |
| − | :<math>{{J}{\Phi }}(r,\theta ,\zeta )=\left( \begin{matrix}
| |
| − | \cos \theta & -r\sin \theta & 0 \\
| |
| − | \sin \theta & r\cos \theta & 0 \\
| |
| − | 0 & 0 & 1 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (2-1-4)
| |
| − |
| |
| − | :<math>\det ({{J}{\Phi }}(r,\theta ,\zeta ))=\left|\begin{matrix}
| |
| − | \cos \theta & -r\sin \theta & 0 \\
| |
| − | \sin \theta & r\cos \theta & 0 \\
| |
| − | 0 & 0 & 1 \\
| |
| − | \end{matrix} \right|=r</math> (2-1-5)
| |
| − |
| |
| − | 従って、円座標のときと同じく、特異点（ヤコビアンが 0 となる点）は、''r'' = 0 となる点全て、つまり (0, θ, ζ) の形であらわされる点全てである。これらの点は全て''x'' -''y'' -''z'' 空間上では''z'' 軸に移る。
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| − |
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| − | === 法線 ===
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| − | 標準的な円柱座標変換Φに対し、'''N'''<sub>r</sub> , '''N'''<sub>θ</sub> , '''N'''<sub>ζ</sub> を以下のように定義し、それぞれ''r'' 法線、θ法線、ζ法線と呼ぶ。これらの定義域は、''r'' -θ-ζ空間全域である<ref name=syazounisou group="注釈">一方、値域は''x'' -''y'' -''z'' 空間の[[接バンドル]]といわれる空間である。このような数学的構造を「写像に沿うベクトル場」という（一般にベクトル場といわれるものとは別の存在）。ただし、'''N'''<sub>r</sub> , '''N'''<sub>θ</sub> , '''N'''<sub>ζ</sub> は、''r'' -θ-ζ空間で定義され、<math>\mathbb{R}^{3}</math>に値をとるベクトル値関数とみなすことができるので、本記事ではそのように考えることにする。</ref>。
| |
| − |
| |
| − | :<math>{{\mathbf{N}}_{r}}(r,\theta ,\zeta )=\frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ) \right) \right\|}=\left( \begin{matrix}
| |
| − | \cos\theta \\
| |
| − | \sin\theta \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (2-2-1)
| |
| − | :<math>{{\mathbf{N}}_{\theta }}(r,\theta ,\zeta )=\frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta ) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta ) \right) \right\|}=\left( \begin{matrix}
| |
| − | -\sin\theta \\
| |
| − | \cos\theta \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (2-2-2)
| |
| − | :<math>{{\mathbf{N}}_{z}}(r,\theta,\zeta)=\frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta,\zeta) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta,\zeta) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta,\zeta) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta,\zeta) \right) \right\|}=\left( \begin{matrix}
| |
| − | 0 \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | 1 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (2-2-3)<br>
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| − |
| |
| − | ここで、“×”は[[ベクトル積]]を意味する<ref group="注釈">参考までに、
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| − |
| |
| − | :<math>\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ) \right)=r\left( \begin{matrix}
| |
| − | \cos\theta \\
| |
| − | \sin\theta \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (2-2-4)
| |
| − | :<math>\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta ) \right)=r\left( \begin{matrix}
| |
| − | -\sin\theta \\
| |
| − | \cos\theta \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (2-2-5)
| |
| − | :<math>\left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,\zeta ) \right)=\left( \begin{matrix}
| |
| − | 0 \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | 1 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (2-2-6)
| |
| − |
| |
| − | である。</ref>。これらの幾何学的な意味は、後述するが、幾何学的な意味でも、これらは法線になっている。
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| − |
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| − | == 円柱と円柱座標 ==
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| − | この節では、後述の説明のために記号を定義する。
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| − | === 円柱と円柱座標 ===
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| − | ''M'' を、<math>x-y-z</math>空間で半径''r''<sub>0</sub> 、高さ''z''<sub>0</sub>の'''ふたと底のある、中身のつまった円柱'''（以降「ソリッド円柱」と呼ぶ）とする。式で書くと
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| − |
| |
| − | :<math>M=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
| |
| − | x \\
| |
| − | y \\
| |
| − | z \\
| |
| − | \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
| |
| − | {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{r}_{0}} \\
| |
| − | 0\le z\le {{z}_{0}} \\
| |
| − | \end{matrix} \right. \right\} \right.</math> (3-1-1)
| |
| − |
| |
| − | である。さらに、「ソリッド円柱」に該当するもの全ては、この''M'' に[[相似変換]]を加えれば集合として実現できるので、以下は、''M'' のみについて考える。
| |
| − |
| |
| − | 次に、この''M'' を、円柱座標変換Φと''r'' -θ-ζ空間内の直方体（六面体）''L'' を用いてパラメータ付け（パラメトライズ）することを考える。''r'' -θ-ζ空間内の直方体''L'' を
| |
| − |
| |
| − | :<math>L=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
| |
| − | r \\
| |
| − | \theta \\
| |
| − | \zeta \\
| |
| − | \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
| |
| − | 0\le r\le {{r}_{0}} \\
| |
| − | 0\le \theta \le 2\pi \\
| |
| − | 0\le \zeta \le {{z}_{0}} \\
| |
| − | \end{matrix} \right. \right\} \right.</math> (3-1-2)
| |
| − |
| |
| − | と定義する。''L'' の3辺の長さはそれぞれ、''r''<sub>0</sub> , θ<sub>0</sub> , 2πである。''M'' は、''L'' のΦによる[[像 (数学)|像]]集合である。すなわち
| |
| − |
| |
| − | :<math>M=\Phi(L)</math> (3-1-3)
| |
| − |
| |
| − | である。上式の等号は、集合として等しいことを意味する。
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| − |
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| − | === 円柱表面 ===
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| − | 式(3-1-1)のソリッド円柱''M'' の表面を<math>\partial M</math>と書き、円柱表面、円筒面、''M'' の表面、あるいは''M'' の境界面と呼ぶ。表面∂''M'' は、以下のΔ<sub>1</sub> , Δ<sub>2</sub> , Δ<sub>3</sub> に分割することができる。
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| − |
| |
| − | :<math>{{\Delta }_{1}}=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
| |
| − | x \\
| |
| − | y \\
| |
| − | z \\
| |
| − | \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
| |
| − | {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{r}_{0}} \\
| |
| − | z=0 \\
| |
| − | \end{matrix} \right. \right\} \right.</math> (3-2-1)
| |
| − | :<math>{{\Delta }_{2}}=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
| |
| − | x \\
| |
| − | y \\
| |
| − | z \\
| |
| − | \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
| |
| − | {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{r}_{0}} \\
| |
| − | 0\le z\le {{z}_{0}} \\
| |
| − | \end{matrix} \right. \right\} \right.</math> (3-2-2)
| |
| − | :<math>{{\Delta }_{3}}=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
| |
| − | x \\
| |
| − | y \\
| |
| − | z \\
| |
| − | \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
| |
| − | {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{r}_{0}} \\
| |
| − | z={{z}_{0}} \\
| |
| − | \end{matrix} \right. \right\} \right.</math> (3-2-3)
| |
| − |
| |
| − | Δ<sub>1</sub> , Δ<sub>2</sub> , Δ<sub>3</sub> をそれぞれ、下面、側面、上面という<ref group="注釈">Δ<sub>1</sub> , Δ<sub>2</sub> , Δ<sub>3</sub> も、''x'' -''y'' -''z'' 空間の[[部分集合]]である。</ref><ref group="注釈">∂''M'' は、''M'' の位相的境界と同じものとなっている。</ref>。
| |
| − |
| |
| − | 逆に言うと、Δ<sub>1</sub> , Δ<sub>2</sub> , Δ<sub>3</sub> を貼り合わせたものが∂''M'' である。集合演算を用いると、
| |
| − | :<math>\partial M= {\Delta}_{1}\cup{\Delta}_{2}\cup{\Delta}_{3}</math> (3-2-4)
| |
| − | のようになる。
| |
| − |
| |
| − | 次に、Δ<sub>1</sub> , Δ<sub>2</sub> , Δ<sub>3</sub> を、円柱座標変換を利用してパラメトライズすることを考える。''D''<sub>1</sub> , ''D''<sub>2</sub> , ''D''<sub>3</sub> を以下のように定める。
| |
| − |
| |
| − | :<math>{{D}_{1}}=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
| |
| − | r \\
| |
| − | \theta \\
| |
| − | \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
| |
| − | 0\le r\le {{r}_{0}} \\
| |
| − | 0\le \theta \le 2\pi \\
| |
| − | \end{matrix} \right. \right\} \right.</math> (3-2-5)
| |
| − |
| |
| − | :<math>{{D}_{2}}=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
| |
| − | \theta \\
| |
| − | \zeta \\
| |
| − | \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
| |
| − | 0\le \theta \le 2\pi \\
| |
| − | 0\le \zeta \le {{z}_{0}} \\
| |
| − | \end{matrix} \right. \right\} \right.</math> (3-2-6)
| |
| − |
| |
| − | :<math>{{D}_{3}}=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
| |
| − | r \\
| |
| − | \theta \\
| |
| − | \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
| |
| − | 0\le r\le {{r}_{0}} \\
| |
| − | 0\le \theta \le 2\pi \\
| |
| − | \end{matrix} \right. \right\} \right.</math> (3-2-7)<br>
| |
| − |
| |
| − | ''D''<sub>1</sub> , ''D''<sub>2</sub> , ''D''<sub>3</sub> は、それぞれ''r'' -θ平面、θ-ζ平面、''r'' -θ平面の部分集合となっている。また、''D''<sub>1</sub> と''D''<sub>3</sub> は集合として全く等しいものである。
| |
| − |
| |
| − | また、''x'' -''y'' -''z'' 空間に値を取るベクトル値関数'''I'''<sub>1</sub> , '''I'''<sub>2</sub> , '''I'''<sub>3</sub> を以下のように定義する。'''I'''<sub>1</sub> , '''I'''<sub>2</sub> , '''I'''<sub>3</sub> の定義域は、本来的にはそれぞれ''r'' -θ平面、θ-ζ平面、''r'' -θ平面であるが、ここでは、それぞれの定義域を''D''<sub>1</sub> , ''D''<sub>2</sub> , ''D''<sub>3</sub> に制限して考えることにする。これら'''I'''<sub>1</sub> , '''I'''<sub>2</sub> , '''I'''<sub>3</sub> を、それぞれΔ<sub>1</sub> , Δ<sub>2</sub> , Δ<sub>3</sub> のパラメータと呼ぶ。
| |
| − |
| |
| − | :<math>\left( \begin{matrix}
| |
| − | x \\
| |
| − | y \\
| |
| − | z \\
| |
| − | \end{matrix} \right)={{\mathbf{I}}_{1}}(r,\theta )=\Phi (r,\theta ,0)=\left( \begin{matrix}
| |
| − | r\cos\theta \\
| |
| − | r\sin\theta \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (3-2-8)
| |
| − | :<math>\left( \begin{matrix}
| |
| − | x \\
| |
| − | y \\
| |
| − | z \\
| |
| − | \end{matrix} \right)={{\mathbf{I}}_{2}}(\theta ,\zeta )=\Phi ({{r}_{0}},\theta ,\zeta )=\left( \begin{matrix}
| |
| − | {{r}_{0}}\cos\theta \\
| |
| − | {{r}_{0}}\sin\theta \\
| |
| − | \zeta \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (3-2-9)
| |
| − | :<math>\left( \begin{matrix}
| |
| − | x \\
| |
| − | y \\
| |
| − | z \\
| |
| − | \end{matrix} \right)={{\mathbf{I}}_{3}}(r,\theta )=\Phi (r,\theta ,{{z}_{0}})=\left( \begin{matrix}
| |
| − | r\cos (-\theta ) \\
| |
| − | r\sin (-\theta ) \\
| |
| − | {{z}_{0}} \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (3-2-10)
| |
| − |
| |
| − | Δ<sub>1</sub> , Δ<sub>2</sub> , Δ<sub>3</sub> は、それぞれ''D''<sub>1</sub> , ''D''<sub>2</sub> , ''D''<sub>3</sub> の'''I'''<sub>1</sub> , '''I'''<sub>2</sub> , '''I'''<sub>3</sub> による像集合となっている：
| |
| − |
| |
| − | :<math>\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
| |
| − | {{\Delta }_{1}}={{\mathbf{I}}_{1}}({{D}_{1}})\\
| |
| − | {{\Delta }_{2}}={{\mathbf{I}}_{2}}({{D}_{2}}) \\
| |
| − | {{\Delta }_{3}}={{\mathbf{I}}_{3}}({{D}_{3}}) \\
| |
| − | \end{array} \right.</math> (3-2-11)
| |
| − |
| |
| − | ここで、“＝”は集合としての等号である。例えば、Δ<sub>1</sub> = '''I'''<sub>1</sub>(''D''<sub>1</sub>) とは、Δ<sub>1</sub> と'''I'''<sub>1</sub> (''D''<sub>1</sub>) が集合として等しいことを意味している<ref group="注釈">'''I'''<sub>3</sub> のθの前の負号が不自然と考える人もいるかもしれないが、ここでは、単に法線の向きがすべて“外向き”になるようパラメータ付けすると、ガウスの発散定理を考えるうえで都合が良いからという理由に留める。</ref>。
| |
| − |
| |
| − | Δ<sub>1</sub> , Δ<sub>2</sub> , Δ<sub>3</sub> それぞれの法線ベクトルを、'''N'''<sub>Δ1</sub> , '''N'''<sub>Δ2</sub> , '''N'''<sub>Δ3</sub>と書く：
| |
| − |
| |
| − | :<math>{{\mathbf{N}}_{{{\Delta }_{1}}}}(r,\theta )
| |
| − | = \frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,0) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,0) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,0) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,0) \right) \right\|}
| |
| − | = {{\mathbf{N}}_{\zeta }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})
| |
| − | = \left( \begin{matrix}
| |
| − | 0 \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | 1 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (3-2-12)
| |
| − | :<math>{{\mathbf{N}}_{{{\Delta }_{2}}}}(\theta ,\zeta )
| |
| − | = \frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }({r}_{0},\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta ) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }({r}_{0},\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta ) \right) \right\|}
| |
| − | = {{\mathbf{N}}_{r}}(r,\theta ,\zeta )
| |
| − | = \left( \begin{matrix}
| |
| − | -\sin\theta \\
| |
| − | \cos\theta \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (3-2-13)
| |
| − | :<math>{{\mathbf{N}}_{{{\Delta }_{3}}}}(r,\theta )
| |
| − | = \frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta_{0}) \right)\times \left( -\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta } \right)(r,\theta ,\zeta_{0}) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta_{0}) \right)\times \left( -\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta } \right)(r,\theta ,\zeta_{0}) \right) \right\|}
| |
| − | = -{{\mathbf{N}}_{\zeta }}(r,\theta ,\zeta_{0})
| |
| − | = \left( \begin{matrix}
| |
| − | 0 \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | -1 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (3-2-14)
| |
| − |
| |
| − | '''N'''<sub>Δ1</sub> , '''N'''<sub>Δ2</sub> , '''N'''<sub>Δ3</sub> の定義域は、それぞれ''D''<sub>1</sub> , ''D''<sub>2</sub> , ''D''<sub>3</sub> である。ここで、'''N'''<sub>θ</sub>に平行なものがないことに注意されたい。
| |
| − |
| |
| − | == ベクトル場 ==
| |
| − | ''x'' -''y'' -''z'' 空間で定義されたベクトル場'''X''' を''x'' -''y'' -''z'' 座標系について表示すると
| |
| − |
| |
| − | :<math>\mathbf{X}(x,y,z)=\left(
| |
| − | \begin{array}{c}
| |
| − | {X}_{x}(x,y,z)\\
| |
| − | {X}_{y}(x,y,z)\\
| |
| − | {X}_{z}(x,y,z)\\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right)</math> (4-1-1)
| |
| − |
| |
| − | となる。これを円柱座標表示に変換することを考える。まず、スカラー値関数''X<sub>r</sub>'' (''r'' , θ, ζ) , ''X''<sub>θ</sub> (''r'' , θ, ζ) , ''X''<sub>ζ</sub> (''r'' , θ, ζ) を、
| |
| − |
| |
| − | :<math>\left\{ \begin{matrix}
| |
| − | {{X}_{r}}=\mathbf{X}\cdot {{\mathbf{N}}_{r}} \\
| |
| − | {{X}_{\theta }}=\mathbf{X}\cdot {{\mathbf{N}}_{\theta }} \\
| |
| − | {{X}_{\zeta}}=\mathbf{X}\cdot {{\mathbf{N}}_{z}} \\
| |
| − | \end{matrix} \right.</math> (4-1-2)
| |
| − |
| |
| − | と定義する。正確に書くと
| |
| − |
| |
| − | :<math>\left\{ \begin{matrix}
| |
| − | X_r (r,\theta,\zeta) = \mathbf{X}\left(\Phi(r,\theta,\zeta)\right) \cdot {\mathbf{N}_r} (r,\theta,\zeta) \\
| |
| − | X_\theta(r,\theta,\zeta) = \mathbf{X}\left(\Phi(r,\theta,\zeta)\right) \cdot {\mathbf{N}_\theta}(r,\theta,\zeta) \\
| |
| − | X_\zeta (r,\theta,\zeta) = \mathbf{X}\left(\Phi(r,\theta,\zeta)\right) \cdot {\mathbf{N}_\zeta} (r,\theta,\zeta)
| |
| − | \end{matrix} \right.</math> (4-1-3)
| |
| − |
| |
| − | である。ここで、・は内積を意味する。定義式(4-1-3)から明らかなように、これらの定義域は''r'' -θ-ζ空間全域（''r'' = 0 となる点を含む）である。
| |
| − |
| |
| − | ここで以下が成立する。”<math>\circ</math>”は、[[合成関数]]の意味である。
| |
| − |
| |
| − | :<math>\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
| |
| − | {{X}_{r}}=({X}_{x}\circ\Phi)\cos\theta + ({X}_{y}\circ\Phi)\sin \theta \\
| |
| − | {{X}_{\theta }}=-({X}_{x}\circ\Phi)\sin\theta + ({X}_{y}\circ\Phi)\cos \theta \\
| |
| − | {{X}_{\zeta}}={{X}_{z}\circ\Phi} \\
| |
| − | \end{array} \right.</math> (4-1-4)
| |
| − |
| |
| − | <!--詳細な導出は百科事典的でないので省略します。
| |
| − | 行列で表記すると、
| |
| − |
| |
| − | :<math>\left( \begin{array}{*{35}{l}}
| |
| − | {{X}_{r}} \\
| |
| − | {{X}_{\theta }} \\
| |
| − | {{X}_{\zeta }} \\
| |
| − | \end{array} \right)=\left( \begin{matrix}
| |
| − | \cos \theta & \sin \theta & 0 \\
| |
| − | -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
| |
| − | 0 & 0 & 1 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)\left( \begin{array}{*{35}{l}}
| |
| − | {{X}_{x}}\circ \Phi \\
| |
| − | {{X}_{y}}\circ \Phi \\
| |
| − | {{X}_{z}}\circ \Phi \\
| |
| − | \end{array} \right)</math> (4-1-5)
| |
| − |
| |
| − | となる。また、
| |
| − |
| |
| − | :<math>{{\left( \begin{matrix}
| |
| − | \cos \theta & \sin \theta & 0 \\
| |
| − | -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
| |
| − | 0 & 0 & 1 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)}^{-1}}=\left( \begin{matrix}
| |
| − | \cos \theta & \sin \theta & 0 \\
| |
| − | \sin \theta & \cos \theta & 0 \\
| |
| − | 0 & 0 & 1 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (4-1-6)
| |
| − |
| |
| − | を(4-1-5)の両辺に掛けあわせ（た後に、左辺と右辺を入れ替え）ると、
| |
| − |
| |
| − | :<math>\left( \begin{array}{*{35}{l}}
| |
| − | {{X}_{x}}\circ \Phi \\
| |
| − | {{X}_{y}}\circ \Phi \\
| |
| − | {{X}_{z}}\circ \Phi \\
| |
| − | \end{array} \right)=\left( \begin{matrix}
| |
| − | \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\
| |
| − | \sin \theta & \cos \theta & 0 \\
| |
| − | 0 & 0 & 1 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)\left( \begin{array}{*{35}{l}}
| |
| − | {{X}_{r}} \\
| |
| − | {{X}_{\theta }} \\
| |
| − | {{X}_{\zeta }} \\
| |
| − | \end{array} \right)</math> (4-1-7)
| |
| − |
| |
| − | がわかり、従って、-->
| |
| − | またはこれを逆に解くと
| |
| − | :<math>\left\{\begin{array}{*{35}{l}}
| |
| − | {{X}_{x}}\circ \Phi ={{X}_{r}}\cos\theta -{{X}_{\theta }}\sin \theta \\
| |
| − | {{X}_{y}}\circ \Phi ={{X}_{r}}\sin\theta +{{X}_{\theta }}\cos \theta \\
| |
| − | {{X}_{z}}\circ \Phi ={{X}_{\zeta }} \\
| |
| − | \end{array} \right.</math> (4-1-5)
| |
| − |
| |
| − | が分かる。
| |
| − |
| |
| − | また、次の等式が''r'' = 0 となる点を含むすべての (''r'' , θ, ζ) に対して成立する。
| |
| − |
| |
| − | :<math>\mathbf{X}(\Phi (r,\theta ,z))=({{X}_{r}} {{\mathbf{N}}_{r}})(r,\theta ,z)+({{X}_{\theta }} {{\mathbf{N}}_{\theta }})(r,\theta ,z)+({{X}_{z}}{{\mathbf{N}}_{z}})(r,\theta ,z)</math> (4-1-6)
| |
| − |
| |
| − | 式(4-1-6)を、ベクトル場の円柱座標表示という。より正確な言い方をすると、「''x'' -''y'' -''z'' 空間で定義されたベクトル場'''X''' の円柱座標表示」という。
| |
| − |
| |
| − | == 積分 ==
| |
| − | === 体積分 ===
| |
| − | ここでは''x'' -''y'' -''z'' 空間で定義されたスカラー値関数''f'' の、式(3-1-1)の円柱''M'' 内部での積分
| |
| − |
| |
| − | :<math>{\int}_{M}f\ dxdydz</math> (5-1-1)
| |
| − |
| |
| − | の計算方法を説明する。円柱''M'' について
| |
| − |
| |
| − | :<math>M=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
| |
| − | x \\
| |
| − | y \\
| |
| − | z \\
| |
| − | \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
| |
| − | {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{r}_{0}} \\
| |
| − | 0\le z\le {{z}_{0}} \\
| |
| − | \end{matrix} \right. \right\} \right.</math><math>=\left\{ \left. \left( \begin{matrix}
| |
| − | x \\
| |
| − | y \\
| |
| − | z \\
| |
| − | \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
| |
| − | -r_0 \le x \le r_0 \\
| |
| − | -\sqrt{r_0^2-x^2} \le y \le \sqrt{r_0^2-x^2}\\
| |
| − | 0 \le z \le z_0
| |
| − | \end{matrix} \right. \right\} \right.</math> (5-1-2)
| |
| − |
| |
| − | が成立することに注意すると、''f'' の積分は以下のように[[累次積分]]に帰着されることが分かる。
| |
| − |
| |
| − | :<math>\int_{M}{f\ dxdydz}
| |
| − | = \int_{z=-{{z}_{0}}}^{z={{z}_{0}}}{\int_{x=-{{r}_{0}^{}}}^{x=r}{\int_{y=-\sqrt{{{r}_{0}^{2}}-{{x}^{2}}}}^{y=\ \sqrt{{{r}_{0}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\ f(x,y,z)\ dxdydz}}}</math> (5-1-3)
| |
| − |
| |
| − | また、式(3-1-2)の直方体''L'' に対し''M'' = Φ(''L'' )（式(3-1-3)）であることと、ヤコビアン（式(2-1-5)）に注意して、積分の[[多重積分#変数変換|変数変換公式]]を用いると、
| |
| − |
| |
| − | :<math>\begin{align}\int_{M}^{{}}{f\ dxdydz}
| |
| − | &= \int_{L} {(f\circ\Phi)\cdot (\det J\Phi )\ drd\theta d\zeta } \\
| |
| − | &= {\int_{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }\int_{\zeta =-{{z}_{0}}}^{\zeta ={{z}_{0}}}{\ r\cdot \left( f\circ \Phi \right)(r,\theta ,\zeta )\ drd\theta d\zeta }}}
| |
| − | \end{align}</math> (5-1-4)
| |
| − |
| |
| − | が分かる。
| |
| − |
| |
| − | 以上、まとめると、
| |
| − |
| |
| − | :<math>\begin{align}
| |
| − | \int_{M} {f\ dxdydz}
| |
| − | &= \int_{z=-z_0}^{z=z_0} {\int_{x=-r_0}^{x=r}{\int_{y=-\sqrt{r_0^2-x^2}}^{y=\ \sqrt{r_0^2-x^2}}{\ f(x,y,z)\ dxdydz}}} \\
| |
| − | &= \int_{r=0}^{r=r_0}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\int_{\zeta =-z_0}^{\zeta =z_0}{\ r\cdot \left( f\circ \Phi \right)(r,\theta ,\zeta )\ dr d\theta d\zeta }}}
| |
| − | \end{align}</math> (5-1-5)
| |
| − |
| |
| − | がわかる。
| |
| − |
| |
| − | === 面積分 ===
| |
| − | ここでは、ベクトル場の円柱表面∂''M'' 上での[[面積分]]の計算方法を説明する。
| |
| − |
| |
| − | ''x'' -''y'' -''z'' 空間で定義されたベクトル場'''X''' に対して、円柱面∂''M'' 上の面積分を
| |
| − | :<math>\int_{\partial \mathbf{M}}{\mathbf{X}} = \int_{{{\Delta }_{1}}}{\mathbf{X}}+\int_{{{\Delta }_{2}}}{\mathbf{X}}+\int_{{{\Delta }_{3}}}{\mathbf{X}}</math> (5-2-1)
| |
| − |
| |
| − | で定める。但し、右辺の各項は
| |
| − |
| |
| − | :<math>\int_{{{\Delta }_{1}}}{\mathbf{X}}=\int_{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left( \mathbf{X}\cdot \left( \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial r}\times \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial \theta } \right) \right)}}\ d\theta dr</math> (5-2-2)
| |
| − |
| |
| − | :<math>\int_{{{\Delta }_{2}}}{\mathbf{X}}=\int_{\zeta =0}^{\zeta ={{\zeta }_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left( \mathbf{X}\cdot \left( \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{2}}}{\partial \theta }\times \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{2}}}{\partial \zeta } \right) \right)}}\ d\theta d\zeta</math> (5-2-3)
| |
| − |
| |
| − | :<math>\int_{{{\Delta }_{3}}}{\mathbf{X}}=\int_{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left( \mathbf{X}\cdot \left( \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{3}}}{\partial r}\times \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{3}}}{\partial \theta } \right) \right)}}\ d\theta dr</math> (5-2-4)
| |
| − |
| |
| − | である。ここで、
| |
| − |
| |
| − | :<math>\mathbf{X}\cdot \left( \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial r}\times
| |
| − | \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial \theta } \right)
| |
| − | = \mathbf{X}\cdot \frac{\left( \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial r}\times \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial \theta } \right)}{\left\| \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial r}\times \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial \theta } \right\|}\left\| \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial r}\times \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial \theta } \right\|
| |
| − | = \left( \mathbf{X}\cdot {{\mathbf{N}}_{\zeta }} \right)\left\| \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial r}\times \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial \theta } \right\|
| |
| − | = r\cdot {{X}_{\zeta }}</math> (5-2-5)
| |
| − |
| |
| − | 同様に、
| |
| − |
| |
| − | :<math>\mathbf{X}\cdot \left( \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{2}}}{\partial \theta }\times \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{2}}}{\partial \zeta } \right) = {{r}_{0}}\cdot {{X}_{r}}</math> (5-2-6)
| |
| − |
| |
| − | :<math>\mathbf{X}\cdot \left( \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{3}}}{\partial \theta }\times \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{3}}}{\partial \zeta } \right) = -r\cdot {{X}_{\zeta }}</math> (5-2-7)
| |
| − |
| |
| − | なので、
| |
| − |
| |
| − | :<math>\int_{{{\Delta }_{1}}}{\mathbf{X}}=\int_{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r\cdot {{X}_{\zeta }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})}}\ d\theta dr</math> (5-2-8)
| |
| − |
| |
| − | :<math>\int_{{{\Delta }_{2}}}{\mathbf{X}}=\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{{{r}_{0}}\cdot {{X}_{r}}({{r}_{0}},\theta ,\zeta )}\ d\theta d\zeta</math> (5-2-9)
| |
| − |
| |
| − | :<math>\int_{{{\Delta }_{3}}}{\mathbf{X}}=\int_{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{-r\cdot{{X}_{\zeta }}(r,\theta ,0)}}\ d\theta dr</math> (5-2-10)
| |
| − |
| |
| − | である。従って、
| |
| − |
| |
| − | <math>\int_{\partial \mathbf{M}}{\mathbf{X}}=\int_{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }r{\left( {{X}_{\zeta }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})-{{X}_{\zeta }}(r,\theta ,0) \right)d\theta dr}}\ \ +\int_{\zeta =0}^{\zeta ={{\zeta }_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{{{r}_{0}}{{X}_{r}}({{r}_{0}},\theta ,\zeta )}}\ d\theta d\zeta</math> (5-2-11)
| |
| − |
| |
| − | が分かる。
| |
| − |
| |
| − | === ガウスの発散定理 ===
| |
| − | ''x'' -''y'' -''z'' 空間で定義されたベクトル場'''X''' に対して、
| |
| − |
| |
| − | :<math>\int_{\partial M}{\mathbf{X}}=\int_{M}{\operatorname{div}\textbf{X}\ dxdydz}</math> (5-3-1)
| |
| − |
| |
| − | が成立する。この事実を、'''円柱面におけるガウスの[[発散定理]]'''という。ここで、
| |
| − |
| |
| − | :<math>\operatorname{div}\mathbf{X} = \left( \frac{\partial {{X}_{x}}}{\partial x} \right)+\left( \frac{\partial {{X}_{y}}}{\partial y} \right)+\left( \frac{\partial {{X}_{z}}}{\partial z} \right)</math> (5-3-2)
| |
| − |
| |
| − | はベクトル場'''X''' の[[発散 (ベクトル解析)|発散]]である。以下、証明を行う。
| |
| − |
| |
| − | ==== 証明の準備 ====
| |
| − | (5-1-5)、(5-2-2)、(5-2-3)、(5-2-4)より、
| |
| − |
| |
| − | :<math>\int_{\zeta =0}^{\zeta ={{\zeta }_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{{{r}_{0}}{{X}_{r}}({{r}_{0}},\theta ,\zeta )}}\ d\theta d\zeta
| |
| − | = \int_{M}{\left( \left( \frac{\partial {{X}_{x}}}{\partial x} \right)+\left( \frac{\partial {{X}_{y}}}{\partial y} \right)\ \right)dxdydz}</math> (5-3-3)
| |
| − |
| |
| − | :<math>\int_{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r\left( {{X}_{\varsigma }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})-{{X}_{\zeta }}(r,\theta ,0) \right)}}\ \ d\theta dr
| |
| − | = \int_{M}{\left( \frac{\partial {{X}_{z}}}{\partial z} \right)dxdydz}</math> (5-3-4)
| |
| − |
| |
| − | を示せばよいことがわかる。
| |
| − |
| |
| − | ==== x,y成分についての証明 ====
| |
| − | まず、式(5-3-3)を示す。
| |
| − |
| |
| − | ''x'' -''y'' 平面上の曲線''c'' (''t'' ) を、
| |
| − | :<math>c(t)=\left( \begin{matrix}
| |
| − | {{r}_{0}}\cos t \\
| |
| − | {{r}_{0}}\sin t \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (5-3-5)
| |
| − | とする。また、変数''z'' を固定して考えることで、''x'' -''y'' 平面上の二次元ベクトル場
| |
| − |
| |
| − | :<math>\mathbf{A}\left( x,y \right)=\left( \begin{matrix}
| |
| − | a\left( x,y \right) \\
| |
| − | b\left( x,y \right) \\
| |
| − | \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
| |
| − | -{{X}_{y}}(x,y,z) \\
| |
| − | {{X}_{x}}(x,y,z) \\
| |
| − | \end{matrix} \right)</math> (5-3-6)
| |
| − | を考える。また、平面曲線と、二次元ベクトル場に対しては、(5-3-6)に対する[[グリーンの定理]]：
| |
| − |
| |
| − | :<math>\int_{c}^{{}}{A}=\int_{x=-{{r}_{0}}}^{x={{r}_{0}}}{\int_{-\sqrt{{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}^{\sqrt{{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}{\left( \frac{\partial b}{\partial x}-\frac{\partial a}{\partial y} \right)dxdy}}</math> (5-3-7)
| |
| − | が成立することは、既知とする。
| |
| − |
| |
| − | このとき
| |
| − | :<math>\begin{align}
| |
| − | \int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{r_0 X_r(r_0,\theta ,\zeta )}\ d\theta
| |
| − | &= \int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\left((X_x \circ \Phi )r_0\cos\theta + (X_y\circ \Phi)r_0\sin\theta \right)}\ d\theta \\
| |
| − | &= \int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\left(X_x(r_0 \cos\theta, r_0 \sin\theta, \zeta)r_0 \cos\theta +X_y(r_0\cos\theta, r_0\sin\theta, \zeta)r_0\sin\theta \right)}\ d\theta \\
| |
| − | &= \int_{t=0}^{t=2\pi}{\left( \begin{matrix}
| |
| − | -X_y(r_0 \cos t,r_0 \sin t,\zeta ) \\
| |
| − | X_x(r_0 \cos t,r_0 \sin t,\zeta ) \\
| |
| − | \end{matrix} \right)}\ \cdot \left( \begin{matrix}
| |
| − | -r_0 \sin t \\
| |
| − | r_0 \cos t \\
| |
| − | \end{matrix} \right)dt \\
| |
| − | &= \int_{t=0}^{t=2\pi }{\left( \begin{matrix}
| |
| − | a\circ c(t) \\
| |
| − | b\circ c(t) \\
| |
| − | \end{matrix} \right)}\ \cdot \left( \frac{dc}{dt} \right)dt \\
| |
| − | &= \int_{x=-{{r}_{0}}}^{x={{r}_{0}}}{\int_{y=-\sqrt{{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}^{y=\sqrt{{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}{\left( \frac{\partial b}{\partial x}-\frac{\partial a}{\partial y} \right)dydx}} \\
| |
| − | &= \int_{x=-{{r}_{0}}}^{x={{r}_{0}}}{\int_{y=-\sqrt{{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}^{y=\sqrt{{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}{\left( \frac{\partial {{X}_{x}}(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial {{X}_{y}}(x,y,z)}{\partial y} \right)dydx}}
| |
| − | \end{align}</math> (5-3-8)
| |
| − |
| |
| − | が成り立つ。従って、
| |
| − |
| |
| − | :<math>\int_{\zeta =0}^{\zeta ={{\zeta }_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{{{X}_{r}}({{r}_{0}},\theta ,\zeta )}}\ d\theta d\zeta
| |
| − | = \int_{z=0}^{z={{\zeta }_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{{{X}_{r}}({{r}_{0}},\theta ,z)}}\ d\theta dz</math>
| |
| − |
| |
| − | :<math>\int_{z=0}^{z={{\zeta }_{0}}}{\int_{x=-r}^{x=r}{\int_{y=-\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}}^{y=\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\left( \frac{\partial {{X}_{x}}(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial {{X}_{y}}(x,y,z)}{\partial y} \right)dydx}}}dz</math> (5-3-9)
| |
| − |
| |
| − | ====z成分について====
| |
| − | 次に、
| |
| − |
| |
| − | :<math>\int_{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r\left( {{X}_{\varsigma }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})-{{X}_{\zeta }}(r,\theta ,0) \right)}}\ \ d\theta dr
| |
| − | = \int_{M}{\left( \frac{\partial {{X}_{z}}}{\partial z} \right)dxdydz}</math> (5-3-10)
| |
| − |
| |
| − | を示す。
| |
| − |
| |
| − | :<math>\int_{z=0}^{z={{\zeta }_{0}}}{\frac{\partial {{X}_{\zeta }}(r,\theta ,\zeta )\ }{\partial \zeta }d\zeta }
| |
| − | ={{X}_{\zeta }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})-{{X}_{\zeta }}\ (r,\theta ,0)</math> (5-3-11)
| |
| − |
| |
| − | なので、
| |
| − |
| |
| − | :<math>\begin{align}
| |
| − | \int_{r=0}^{r=r_0}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{r\left(X_\varsigma(r,\theta ,\zeta_0)-X_\zeta(r,\theta ,0) \right)\ \ d\theta}dr}
| |
| − | &= \int_{r=0}^{r=r_0}{r\left(\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\left(X_\varsigma(r,\theta,\zeta_0)-X_\zeta(r,\theta,0) \right)d\theta}\right)\ \ dr}\\
| |
| − | &= \int_{r=0}^{r=r_0}{r\left(\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\int_{\zeta =0}^{\zeta =\zeta_0}{\frac{\partial X_\zeta(r,\theta,\zeta)}{\partial \zeta}d\zeta}d\theta}\right)\ dr} \\
| |
| − | & =\int_{r=0}^{r=r_0}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\int_{\zeta =0}^{\zeta =\zeta_0}{\left(\frac{\partial X_\zeta(r,\theta,\zeta)}{\partial \zeta} \right)r d\zeta}d\theta}dr} \\
| |
| − | &= \int_{r=0}^{r=r_0}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\int_{\zeta =0}^{\zeta =\zeta_0}{\left( \left( \frac{\partial X_z}{\partial z} \right){}^\circ \Phi (r,\theta ,\zeta ) \right)r d\zeta}d\theta}dr} \\
| |
| − | &= \int_{r=0}^{r=r_0}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\int_{\zeta =0}^{\zeta =\zeta_0}{\left( \left( \frac{\partial X_z}{\partial z} \right){}^\circ \Phi (r,\theta ,\zeta ) \right)\left( \det (J\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right)d\zeta} d\theta}dr} \\
| |
| − | &= \int_{z=0}^{z=\zeta_0}{\int_{x=-r}^{x=r}{\int_{y=-\sqrt{r^2-x^2}}^{y=\sqrt{r^2-x^2}}{\left( \frac{\partial X_z(x,y,z)}{\partial z} \right)dy}dx}dz}
| |
| − | \end{align}</math> (5-3-12)
| |
| − |
| |
| − | <div align=right>■</div>
| |
| − |
| |
| − | == スカラー関数に作用する微分作用素 ==
| |
| − | === x-y-z空間における偏微分 ===
| |
| − | ''f'' を、''x'' -''y'' -''z'' 空間で定義されたスカラー値関数とする。このとき、''r'' ≠ 0 をみたす任意の (''r'' , θ, ζ) に対して以下の(6-1-1)～(6-1-3)の等式が成立する：
| |
| − |
| |
| − | :<math>\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))
| |
| − | = \cos \theta \left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial r} \right)(r,\theta ,z) \right)
| |
| − | - \frac{\sin \theta}{r}\left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,z) \right)</math> (6-1-1)
| |
| − |
| |
| − | :<math>\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))
| |
| − | = \sin\theta \left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial r} \right)(r,\theta ,z) \right)
| |
| − | + \frac{\cos\theta}{r}\left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,z) \right)</math> (6-1-2)
| |
| − |
| |
| − | :<math>\left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)(\Phi (r,\theta ,z))
| |
| − | = \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \zeta } \right)(r,\theta ,z)</math> (6-1-3)
| |
| − |
| |
| − | 上記の3式は、しばしは略記的に以下のように表記される：
| |
| − |
| |
| − | :<math>\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
| |
| − | \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)=\cos\theta \left( \frac{\partial f}{\partial r} \right)-\frac{\sin\theta}{r}\left( \frac{\partial f}{\partial \theta } \right) \\
| |
| − | \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)=\sin\theta \left( \frac{\partial f}{\partial r} \right)+\frac{\cos\theta}{r}\left( \frac{\partial f}{\partial \theta } \right) \\
| |
| − | \left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)=\left( \frac{\partial f}{\partial \zeta } \right) \\
| |
| − | \end{array} \right.</math> (6-1-4)
| |
| − |
| |
| − | === 勾配作用素 ===
| |
| − | {{節stub}}
| |
| − | [[勾配 (ベクトル解析)|勾配]] grad ：<!--は、''x'' -''y'' -''z'' 空間上のスカラー値関数''f'' から、<math>x-y-z</math>空間上のベクトル場、<math>grad(f)</math>を以下のように作り出す微分作用素である。-->
| |
| − | :<math>\begin{align}
| |
| − | (\operatorname{grad}f)(x,y,z) &= \left( \begin{matrix}
| |
| − | (\partial f/\partial x)(x,y,z) \\
| |
| − | (\partial f/\partial y)(x,y,z) \\
| |
| − | (\partial f/\partial z)(x,y,z) \\
| |
| − | \end{matrix} \right) \\
| |
| − | &= \left( \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)(x,y,z) \right)\left( \begin{matrix}
| |
| − | 1 \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | \end{matrix} \right) + \left( \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)(x,y,z) \right)\left( \begin{matrix}
| |
| − | 0 \\
| |
| − | 1 \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | \end{matrix} \right) + \left( \left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)(x,y,z) \right)\left( \begin{matrix}
| |
| − | 0 \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | 1 \\
| |
| − | \end{matrix} \right)\end{align}</math> (6-2-1)
| |
| − | を円柱座標変換すると
| |
| − |
| |
| − | ．．．
| |
| − |
| |
| − | 以下、証明を行う。(grad ''f'' )(Φ(''r'' , θ, ζ)) と、'''N'''<sub>r</sub> (''r'' , θ, ζ) の内積を取ると、
| |
| − |
| |
| − | :<math>\begin{align}
| |
| − | \left[ \left(\operatorname{grad}f \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right]\cdot \left( {{\mathbf{N}}_{r}}(r,\theta ,\zeta ) \right)
| |
| − | =& \left( \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )),\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )),\left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right)\left( \begin{matrix}
| |
| − | \cos\theta \\
| |
| − | \sin\theta \\
| |
| − | 0 \\
| |
| − | \end{matrix} \right) \\
| |
| − | =& \cos\theta \left( \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right)+\sin\theta \left( \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right) \\
| |
| − | =& \cos\theta \left[ \cos\theta \left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial r} \right)(r,\theta ,z) \right)-\frac{\sin\theta}{r}\left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,z) \right) \right]\\
| |
| − | &+ \sin\theta \left[ \sin\theta \left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial r} \right)(r,\theta ,z) \right)+\frac{\cos\theta}{r}\left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,z) \right) \right]\\
| |
| − | =& \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial r} \right)(r,\theta ,z)
| |
| − | \end{align}</math> (6-2-2)
| |
| − |
| |
| − | であり、同様に、'''N'''<sub>θ</sub>(''r'' , θ, ζ) , '''N'''<sub>ζ</sub>(''r'' , θ, ζ) についても、
| |
| − |
| |
| − | :<math>\left[ \left(\operatorname{grad}f \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right]\cdot \left( {{\mathbf{N}}_{\theta }}(r,\theta ,\zeta ) \right)=\frac{1}{r}\left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,z)</math> (6-2-3)
| |
| − | :<math>\left[ \left(\operatorname{grad}f \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right]\cdot \left( {{\mathbf{N}}_{\zeta }}(r,\theta ,\zeta ) \right)=\left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \zeta } \right)(r,\theta ,\zeta )</math> (6-2-3)
| |
| − |
| |
| − | が成り立つ。従って「ベクトル場の円柱座標表示」と同様にして、上の等式が示せる。
| |
| − |
| |
| − | === ラプラシアン ===
| |
| − | [[ラプラシアン]]についても、''r'' ≠ 0 をみたす任意の(''r'' , θ, ζ) に対して以下の等式が成立する。
| |
| − |
| |
| − | :<math>\left( \Delta f \right)\left( \Phi (r,\theta ,\zeta ) \right)=
| |
| − | \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left( r\left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial r} \right) \right)(r,\theta,\zeta)
| |
| − | +\frac{1}{{{r}^{2}}}\left( \frac{{{\partial }^{2}}(f\circ \Phi )}{\partial {{\theta }^{2}}} \right)(r,\theta,\zeta)
| |
| − | +\left( \frac{{{\partial }^{2}}(f\circ \Phi )}{\partial {{\xi }^{2}}} \right)(r,\theta,\zeta)</math> (6-2-3)
| |
| − |
| |
| − | == ベクトル場に作用する微分作用素 ==
| |
| − | === 発散 ===
| |
| − | ''X'' を、''x'' -''y'' -''z'' 空間で定義されたベクトル場とするとき、[[発散 (ベクトル解析)|発散]] div の円柱座標系表示として以下の等式が成立する。
| |
| − |
| |
| − | :<math>(\operatorname{div}X)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))
| |
| − | = \frac{1}{r}\left( \frac{\partial (r\cdot {{X}_{r}})}{\partial r} \right)(r,\theta ,\zeta )+\frac{1}{r}\left( \frac{\partial {{X}_{\theta }}}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,\zeta )+\left( \frac{\partial {{X}_{z}}}{\partial z} \right)(r,\theta ,\zeta )</math>
| |
| − |
| |
| − | === 回転 ===
| |
| − | [[回転 (ベクトル解析)|回転]] rot の円柱座標系表示については、次の等式が成立する。
| |
| − |
| |
| − | :<math>(\operatorname{rot}X)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))
| |
| − | = \left({{(\operatorname{rot}X)}_{r} }(r,\theta ,z) \right){{\mathbf{N}}_{r} }(r,\theta ,\zeta )
| |
| − | + \left({{(\operatorname{rot}X)}_{\theta}}(r,\theta ,z) \right){{\mathbf{N}}_{\theta}}(r,\theta ,\zeta )
| |
| − | + \left({{(\operatorname{rot}X)}_{\theta}}(r,\theta ,z) \right){{\mathbf{N}}_{\zeta }}(r,\theta ,\zeta )
| |
| − | </math>
| |
| − | ただし
| |
| − | :<math>{{(\operatorname{rot}X)}_{r}}(r,\theta ,z)=\frac{1}{r}\left( \frac{\partial {{X}_{\zeta }}}{\partial r} \right)(r,\theta ,z)-\left( \frac{\partial {{X}_{\theta }}}{\partial \zeta } \right)(r,\theta ,z)</math>
| |
| − | :<math>{{(\operatorname{rot}X)}_{\theta }}(r,\theta ,z)=\left( \frac{\partial {{X}_{r}}}{\partial \zeta } \right)(r,\theta ,z)-\left( \frac{\partial {{X}_{\zeta }}}{\partial r} \right)(r,\theta ,z)</math>
| |
| − | :<math>{{(\operatorname{rot}X)}_{\zeta }}(r,\theta ,z)=\frac{1}{r}\left( \frac{\partial (r{{X}_{r}})}{\partial r} \right)(r,\theta ,z)-\frac{1}{r}\left( \frac{\partial {{X}_{r}}}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,z)</math>
| |
| − | である。
| |
| − |
| |
| − | == 曲線・運動 ==
| |
| − | === 運動 ===
| |
| − | ''x'' -''y'' -''z'' 空間における運動を表す曲線
| |
| − |
| |
| − | :<math>c(t)=\left(
| |
| − | \begin{array}{l}
| |
| − | x(t)\\
| |
| − | y(t)\\
| |
| − | z(t)\\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right)</math> (8-1-1)
| |
| − |
| |
| − | が、''r'' -θ-ζ空間に値を取る曲線
| |
| − |
| |
| − | :<math>\gamma(t)=\left(
| |
| − | \begin{array}{l}
| |
| − | r(t)\\
| |
| − | \theta(t)\\
| |
| − | z(t)\\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right)</math> (8-1-2)
| |
| − |
| |
| − | と、円柱座標変換&Phi:を用いて、
| |
| − |
| |
| − | :<math>c(t)=\Phi(\gamma(t))</math> (8-1-3)
| |
| − |
| |
| − | と表せるとき、γ(''t'' ) を「曲線''c'' (''t'' ) の円柱座標表示」、あるいは「運動''c'' (''t'' ) の円柱座標表示」と呼ぶ。
| |
| − |
| |
| − | 式(8-1-3)は、
| |
| − |
| |
| − | :<math>\left\{
| |
| − | \begin{array}{l}
| |
| − | x=r\cos\theta\\
| |
| − | y=r\sin\theta\\
| |
| − | z=z\\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right.</math> (8-1-4)
| |
| − |
| |
| − | の両辺を時刻''t'' に関する関数と考えること、つまり、
| |
| − |
| |
| − | :<math>\left\{
| |
| − | \begin{array}{l}
| |
| − | x(r(t),\theta(t),z(t))=r(t)\cos\theta(t)\\
| |
| − | y(r(t),\theta(t),z(t))=r(t)\sin\theta(t)\\
| |
| − | z(r(t),\theta(t),z(t))=z(t) \\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right.</math> (8-1-5)
| |
| − |
| |
| − | と考えることと同じである。
| |
| − |
| |
| − | === 速度ベクトル ===
| |
| − | ''x'' -''y'' -''z'' 空間における運動を表す曲線''c'' (''t'' ) の速度ベクトル'''v'''(''t'' )：
| |
| − |
| |
| − | :<math>v(t)=\left(\frac{dc}{dt}\right)(t)</math> (8-2-1)
| |
| − |
| |
| − | について以下が成立する。
| |
| − |
| |
| − | :<math>\left(
| |
| − | \begin{array}{l}
| |
| − | {v}_{x}(t)\\
| |
| − | {v}_{y}(t)\\
| |
| − | {v}_{z}(t)\\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right)=
| |
| − | \left(
| |
| − | \begin{array}{l}
| |
| − | (dx/dt)(t)\\
| |
| − | (dy/dt)(t)\\
| |
| − | (dz/dt)(t)\\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right)=\left(
| |
| − | \begin{array}{c}
| |
| − | \cos\theta(t)-r(t)\cdot((d\theta /dt)(t))\cdot\sin\theta(t)\\
| |
| − | \sin\theta(t)-r(t)\cdot((d\theta /dt)(t))\cdot\cos\theta(t)\\
| |
| − | (dz/dt)(t)\\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right)</math> (8-2-2)
| |
| − |
| |
| − | 但し''v<sub>x</sub>'' , ''v<sub>y</sub>'' , ''v<sub>z</sub>'' は、それぞれ'''v'''(''t'' ) の''x'' 成分、''y'' 成分、''z'' 成分を意味する。
| |
| − |
| |
| − | また、
| |
| − | :<math>\left\{
| |
| − | \begin{array}{l}
| |
| − | {v}_{r}(t)=v(t)\cdot{\textbf{N}}_{r}(c(t))\\
| |
| − | {v}_{\theta}(t)=v(t)\cdot{\textbf{N}}_{\theta}(c(t))\\
| |
| − | {v}_{z}(t)=v(t)\cdot{\textbf{N}}_{z}(c(t))\\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right.</math> (8-2-3)
| |
| − |
| |
| − | のように定義すると、
| |
| − |
| |
| − | :<math>\mathbf{v}(t)={{v}_{r}}(t){{\mathbf{N}}_{r}}(c(t))+{{v}_{\theta }}(t){{\mathbf{N}}_{\theta }}(c(t))+{{c}_{z}}(t){{\mathbf{N}}_{z}}(t)</math> (8-2-4)
| |
| − |
| |
| − | である。また、以下が成立する。
| |
| − |
| |
| − | :<math>\left\{
| |
| − | \begin{array}{l}
| |
| − | {v}_{r}(t)=(dr/dt)(t)\\
| |
| − | {v}_{\theta}(t)=r(t)\cdot((d\theta /dt)(t))\\
| |
| − | {v}_{z}(t)=(dz/dt)(t)\\
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right.</math> (8-2-4)
| |
| − |
| |
| − | === 加速度ベクトル ===
| |
| − | 同様に曲線''c'' (''t'' ) の加速度ベクトル'''a'''(''t'' ) ：
| |
| − | :<math>\textbf{a}(t)=
| |
| − | \left(
| |
| − | \begin{array}{l}
| |
| − | \frac{d\textbf{v}}{dt}
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right)(t)</math> (8-3-1)
| |
| − |
| |
| − | については以下が成立する。
| |
| − |
| |
| − | :<math>\mathbf{a}(t)={{a}_{r}}(t){{\mathbf{N}}_{r}}(c(t))+{{a}_{\theta }}(t){{\mathbf{N}}_{\theta }}(c(t))+{{a}_{z}}(t){{\mathbf{N}}_{z}}(c(t))</math> (8-3-2)
| |
| − |
| |
| − | 但し''a<sub>x</sub>'' , ''a<sub>y</sub>'' , ''a<sub>z</sub>'' は、それぞれ '''a'''(''t'' ) の''x'' 成分、''y'' 成分、''z'' 成分を意味する。また、
| |
| − |
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| − | :<math>\left\{
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| − | \begin{array}{l}
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| − | {a}_{r}(t)=a(t)\cdot{\textbf{N}}_{r}(c(t))\\
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| − | {a}_{\theta}(t)=a(t)\cdot{\textbf{N}}_{\theta}(c(t))\\
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| − | {a}_{z}(t)=a(t)\cdot{\textbf{N}}_{z}(c(t))\\
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| − | \end{array}
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| − | \right.</math> (8-3-2)
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| − | である。
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| − |
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| − | さらに、以下が成立する。
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| − |
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| − | <math>\left\{ \begin{array}{l}
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| − | {{a}_{r}}(t)=[(({{d}^{2}}r/d{{t}^{2}})(t))-{{((d\theta /dt)(t))}^{2}}] \\
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| − | {{a}_{\theta }}(t)=[2((dr/dt)(t))(((d\theta /dt)(t)))+(r(t))(({{d}^{2}}\theta /d{{t}^{2}})(t))] \\
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| − | {{a}_{z}}(t)=({{d}^{2}}z/d{{t}^{2}})(t) \\
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| − | \end{array}\right.</math> (8-3-4)
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| − | ==脚注==
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| − | <references group="注釈"/>{{脚注ヘルプ}}
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| − | <!--==参考文献==
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| − | {{reflist}}-->
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| − | {{Math-stub}}
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| − | {{DEFAULTSORT:えんちゆうさひようへんかん}}
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| − | [[Category:座標]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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