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| − | {{要改訳}} | + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | '''カルタン行列'''(Cartan matrix)は 3つの意味を持っている。3つともすべてはフランスの数学者[[エリ・カルタン]](Élie Cartan）の名に因んでいる。実際、[[リー代数]]の脈絡でのカルタン行列は、最初に{{仮リンク|ヴィルヘルム・キリング|en|Wilhelm Killing}}(Wilhelm Killing])により研究され、一方、[[キリング形式]]はカルタンによって研究された。
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| − | <!--In [[mathematics]], the term '''Cartan matrix''' has three meanings. All of these are named after the French [[mathematician]] [[Élie Cartan]]. In fact, Cartan matrices in the context of [[Lie algebra]]s were first investigated by [[Wilhelm Killing]], whereas the [[Killing form]] is due to Cartan.-->
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| − | == リー代数 ==
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| − | '''一般カルタン行列'''(generalized Cartan matrix)は、次を満たす整数の要素を持つ[[正方行列]] <math>A = (a_{ij})</math> である。
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| − | # 対角要素は、a<sub>ii</sub> = 2 である。
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| − | # 非対角要素は、<math>a_{ij} \leq 0 </math> である。
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| − | # <math>a_{ij} = 0</math> であることと <math>a_{ji} = 0</math> は同値である。
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| − | # A は DS と分解して書くことができる。ここに D は[[対角行列]]であり、S は[[対称行列]]である。
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| − | <!--== Lie algebras ==
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| − | {{Lie groups}}
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| − | A '''generalized Cartan matrix''' is a [[square matrix]] <math>A = (a_{ij})</math> with [[integer|integral]] entries such that
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| − | # For diagonal entries, ''a<sub>ii</sub>'' = 2.
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| − | # For non-diagonal entries, <math>a_{ij} \leq 0 </math>.
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| − | # <math>a_{ij} = 0</math> if and only if <math>a_{ji} = 0</math>
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| − | # ''A'' can be written as ''DS'', where ''D'' is a [[diagonal matrix]], and ''S'' is a [[symmetric matrix]].-->
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| − | たとえば、{{仮リンク|G2 (数学)#ディンキン図形とカルタン行列|label=G<sub>2</sub>|en|G2 (mathematics)#Dynkin diagram and Cartan matrix}}(G<sub>2</sub>)のカルタン行列は、次のように分解することができる。
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| − | :<math>
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| − | \left [
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| − | \begin{smallmatrix}
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| − | \;\,\, 2&-3\\
| |
| − | -1&\;\,\, 2
| |
| − | \end{smallmatrix}\right ]
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| − | = \left [
| |
| − | \begin{smallmatrix}
| |
| − | 3&0\\
| |
| − | 0&1
| |
| − | \end{smallmatrix}\right ]
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| − | \left [
| |
| − | \begin{smallmatrix}
| |
| − | 2/3&-1\\
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| − | -1&\;2
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| − | \end{smallmatrix}\right ].
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| − | </math>
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| − | 3.の条件は独立ではないが、実際、1.と 4.の条件の結果である。
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| − | <!--For example, the Cartan matrix for [[G2 (mathematics)#Dynkin diagram and Cartan matrix|''G''<sub>2</sub>]] can be decomposed as such:
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| − | :<math>
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| − | \left [
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| − | \begin{smallmatrix}
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| − | \;\,\, 2&-3\\
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| − | -1&\;\,\, 2
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| − | \end{smallmatrix}\right ]
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| − | = \left [
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| − | \begin{smallmatrix}
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| − | 3&0\\
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| − | 0&1
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| − | \end{smallmatrix}\right ]
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| − | \left [
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| − | \begin{smallmatrix}
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| − | 2/3&-1\\
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| − | -1&\;2
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| − | \end{smallmatrix}\right ].
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| − | </math>
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| − | The third condition is not independent but is really a consequence of the first and fourth conditions.-->
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| − | いつでも正の対角要素を持つ D を選ぶことができる。この場合、上記の分解の S が[[正定値行列|正定値]]であれば、A は'''カルタン行列'''であるといわれる。
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| − | 単純[[リー代数]]のカルタン行列は、行列要素が[[スカラー積]]
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| − | | |
| − | :<math>a_{ij}=2 {(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}</math>
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| − | であるような行列（ときおり、'''カルタン整数'''(Cartan integers)と呼ばれる）である。ここに r<sub>i</sub> は代数の[[ルート系|単純ルート]](simple roots)である。要素は、[[ルート系|ルート]]の性質のひとつより整数である。1 の条件は定義から従い、2 の条件は <math>i\neq j, r_j-{2(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}r_i</math> は r<sub>j</sub> に対し正の係数を持つ単純ルート r<sub>i</sub> と r<sub>j</sub> の[[線型結合]]であるルートであるので、r<sub>i</sub> の係数は非負となるはずである。3.の条件は、直交性は対称的な関係であるので、正しい。最後に、<math>D_{ij}={\delta_{ij}\over (r_i,r_i)}</math> であり <math>S_{ij}=2(r_i,r_j)</math> とすると、単純ルートは[[ユークリッド空間]]を張るので、S は正定値である。
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| − | 逆に、一般カルタン行列が与えられると、対応するリー代数を再現することができる。（詳しくは、[[カッツ・ムーディ代数]]を参照。）
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| − | <!--We can always choose a ''D'' with positive diagonal entries. In that case, if ''S'' in the above decomposition is [[positive-definite matrix|positive definite]], then ''A'' is said to be a '''Cartan matrix'''.
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| − | The Cartan matrix of a simple [[Lie algebra]] is the matrix whose elements are the [[scalar product]]s
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| − | :<math>a_{ij}=2 {(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}</math>
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| − | (sometimes called the '''Cartan integers''') where ''r<sub>i</sub>'' are the [[root system|simple roots]] of the algebra. The entries are integral from one of the properties of [[root system|root]]s. The first condition follows from the definition, the second from the fact that for <math>i\neq j, r_j-{2(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}r_i</math> is a root which is a [[linear combination]] of the simple roots ''r<sub>i</sub>'' and ''r<sub>j</sub>'' with a positive coefficient for ''r<sub>j</sub>'' and so, the coefficient for ''r<sub>i</sub>'' has to be nonnegative. The third is true because orthogonality is a symmetric relation. And lastly, let <math>D_{ij}={\delta_{ij}\over (r_i,r_i)}</math> and <math>S_{ij}=2(r_i,r_j)</math>. Because the simple roots span a [[Euclidean space]], S is positive definite.
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| − | Conversely, given a generalized Cartan matrix, one can recover its corresponding Lie algebra. (See [[Kac–Moody algebra]] for more details).-->
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| − | === 分類 ===
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| − | <math>n \times n</math> 行列 A は、ある空でない固有部分集合 <math>I \subset \{1,\dots,n\}</math> が存在し、 <math>i \in I</math> であり、また、<math>j \notin I</math> であるときはいつも <math>a_{ij} = 0</math> であるとき、'''可約'''(decomposable)であるという。A が'''既約'''(indecomposable)とは、そうでない場合を言う。
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| − | A を既約な一般カルタン行列とすると、A が'''有限型'''とは、すべての[[主小行列式]](principal minor)が正の場合をいい、A が'''アフィン'''型とは固有な主小行列式が正である場合をいい、'''不定値'''型とは、それ以外の場合をいう。
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| − | 有限タイプの既約行列は、有限次元の[[単純リー群]](simple Lie algebra)（タイプは、<math>A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4, G_2 </math> )を分類し、一方、アフィンタイプの既約行列は[[アフィンリー代数]]を分類する（ある標数 0 の代数的閉体上とする）。
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| − | <!--=== Classification ===
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| − | A <math>n \times n</math> matrix ''A'' is '''decomposable''' if there exists a nonempty proper subset <math>I \subset \{1,\dots,n\}</math> such that <math>a_{ij} = 0</math> whenever <math>i \in I</math> and <math>j \notin I</math>. ''A'' is '''indecomposable''' if it is not decomposable.
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| − | Let ''A'' be an indecomposable generalized Cartan matrix. We say that ''A'' is of '''finite type''' if all of its [[principal minor]]s are positive, that ''A'' is of '''affine type''' if its proper principal minors are positive and ''A'' has [[determinant]] 0, and that ''A'' is of '''indefinite type''' otherwise.
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| − | Finite type indecomposable matrices classify the finite dimensional [[simple Lie algebra]]s (of types <math>A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4, G_2 </math>), while affine type indecomposable matrices classify the [[affine Lie algebra]]s (say over some algebraically closed field of characteristic 0).-->
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| − | ==== 単純リー代数のカルタン行列の行列式 ====
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| − | 単純リー代数のカルタン行列の行列式は次の表で与えられる。
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| − | {| class="wikitable" border="1"
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| − | |-
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| − | | <math>A_n</math>
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| − | | <math>B_n</math>, <math> n\geq 2 </math>
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| − | | <math>C_n</math>, <math> n\geq 2 </math>
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| − | | <math>D_n</math>, <math> n\geq 4 </math>
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| − | | <math>E_n</math>, <math> n=6,7,8 </math>
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| − | | <math>F_4</math>
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| − | | <math>G_2</math>
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| − | |- align=center
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| − | | ''n''+1
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| − | | 2
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| − | | 2
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| − | | 4
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| − | | 9-''n''
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| − | | 1
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| − | | 1
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| − | |}
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| − | この行列式のもう一つの性質は、随伴するルート系のインデックスに等しいことである、つまり、<math>P, Q </math> はそれぞれウェイト格子とルート格子をそれぞれ表すと、この行列式は <math>|P/Q| </math> と等しい。
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| − | <!--==== Determinants of the Cartan matrices of the simple Lie algebras ====
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| − | The determinants of the Cartan matrices of the simple Lie algebras given in the following table.
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| − | {| class="wikitable" border="1"
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| − | |-
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| − | | <math>A_n</math>
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| − | | <math>B_n</math>, <math> n\geq 2 </math>
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| − | | <math>C_n</math>, <math> n\geq 2 </math>
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| − | | <math>D_n</math>, <math> n\geq 4 </math>
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| − | | <math>E_n</math>, <math> n=6,7,8 </math>
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| − | | <math>F_4</math>
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| − | | <math>G_2</math>
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| − | |- align=center
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| − | | ''n''+1
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| − | | 2
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| − | | 2
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| − | | 4
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| − | | 9-''n''
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| − | | 1
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| − | | 1
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| − | |}
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| − | Another property of this determinant is that it is equal to the index of the associated root system, i.e. it is equal to <math>|P/Q| </math> where <math>P, Q </math> denote the weight lattice and root lattice, respectively.-->
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| − | == 有限次元代数の表現 ==
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| − | [[モジュラー表現論]]では、あるいはより一般的に[[半単純環|半単純]]'''ではない'''有限次元[[結合多元環|結合代数]] A の[[表現論]]では、 '''カルタン行列'''は{{仮リンク|主直既約加群|en|principal indecomposable module}}(principal indecomposable module)の同型類からなる（有限）集合を考え、それらの[[組成列]]を[[既約加群]]のことばで記述し、既約加群の出現数を数える整数の行列をとることにより定義される。
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| − | <!--== Representations of finite-dimensional algebras ==
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| − | In [[modular representation theory]], and more generally in the theory of representations of finite-dimensional [[associative algebra]]s ''A'' that are ''not'' [[Semisimple algebra|semisimple]], a '''Cartan matrix''' is defined by considering a (finite) set of [[principal indecomposable module]]s and writing [[composition series]] for them in terms of [[irreducible module]]s, yielding a matrix of integers counting the number of occurrences of an irreducible module.-->
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| − | == M-理論でのカルタン行列 ==
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| − | [[M-理論]]では、2-サイクルの領域は 0 へ向かう極限で有限個の点と交叉する{{仮リンク|サイクル (数学)|label=2-サイクル|en|Cycle (mathematics)}}(two-cycles)を持つ幾何学である。この極限で、[[ゲージ群|局所対称群]]が現れる。2-サイクルの基底の[[交叉数]]の行列は、局所対称群の[[リー代数]]のカルタン行列であると予想されている。[http://arxiv.org/abs/hep-th/9707123].
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| − | | |
| − | このことは次のように説明することができる。M-理論では、'''メンブレーン'''(membrane)、あるいは、'''2-ブレーン'''(2-branes)と呼ばれる 2次元曲面の[[解]]を持っている。2-ブレーンは[[張力]](tension)を持ち、従って、縮む傾向にあるが、2-サイクルの周りに巻きつき 0 に収縮しないことがある。
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| − | | |
| − | すべての交叉する 2サイクルに共通な 1次元を[[コンパクト化 (物理学)|コンパクト化]]し、この次元が 0 へ収縮する極限をとることは、この次元での{{仮リンク|次元簡約|en|dimensional reduction}}(dimensional reduction)を取ることになる。そのようにすると、タイプ IIA の[[弦理論]]を[[D-ブレーン]]の間の開弦により記述された 2-サイクルへ巻きついた 2-ブレーンを持つ M-理論の極限として得ることができる。各々の D-ブレーンに対し [[ユニタリ群|U(1)]] 局所対称群が存在し、向き付けを変えない弦の運動の[[自由度]]に似ている。2-サイクルの面積が 0 のときの極限は、開弦の端点となっているこれらの D-ブレーンの極限であるので、拡張された局所対称群を得る。
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| − | | |
| − | 現在、2つの D-ブレーンの間の開弦はリー代数の生成子を表現し、そのような 2つの生成子の[[交換子]]は、2つの開弦の縁を互いに張り合わせることによい得られる開弦によって表される第三の D-ブレーンである。異なる開弦の間の後者の関係は、元の M-理論での 2-ブレーンの交叉する方法、つまり 2-サイクルの交叉とは独立である。このようにリー代数は、これらの交点数に完全に依存する。カルタン行列の詳しい関係式は、交点数が{{仮リンク|単純ルート (ルート系)|label=単純ルート|en|Simple root (root system)}}(simple root)の交換子を記述することが理由である。これは選択された 2-サイクルに関連している。
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| − | [[カルタン部分代数]](Cartan subalgebra)はD-ブレーンとそれ自身の間に伸びた開弦により表現される。
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| − | <!--== Cartan matrices in M-theory ==
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| − | In [[M-theory]], one may consider a geometry with [[Cycle (mathematics)|two-cycles]] which intersects with each other at a finite number of points, at the limit where the area of the two-cycles go to zero. At this limit, there appears a [[gauge group|local symmetry group]]. The matrix of [[intersection number]]s of a basis of the two-cycles is conjectured to be the Cartan matrix of the [[Lie algebra]] of this local symmetry group [http://arxiv.org/abs/hep-th/9707123].
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| − | This can be explained as follows. In M-theory one has [[soliton]]s which are two-dimensional surfaces called ''membranes'' or ''2-branes''. A 2-brane has a [[tension (physics)|tension]] and thus tends to shrink, but it may wrap around a two-cycles which prevents it from shrinking to zero.
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| − | One may [[Compactification (physics)|compactify]] one dimension which is shared by all two-cycles and their intersecting points, and then take the limit where this dimension shrinks to zero, thus getting a [[dimensional reduction]] over this dimension. Then one gets type IIA [[string theory]] as a limit of M-theory, with 2-branes wrapping a two-cycles now described by an open string stretched between [[D-brane]]s. There is a [[U(1)]] local symmetry group for each D-brane, resembling the [[Degrees of freedom (physics and chemistry)|degree of freedom]] of moving it without changing its orientation. The limit where the two-cycles have zero area is the limit where these D-branes are on top of each other, so that one gets an enhanced local symmetry group.
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| − | | |
| − | Now, an open string stretched between two D-branes represents a Lie algebra generator, and the [[commutator]] of two such generator is a third one, represented by an open string which one gets by gluing together the edges of two open strings.
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| − | The latter relation between different open strings is dependent on the way 2-branes may intersect in the original M-theory, i.e. in the intersection numbers of two-cycles. Thus the Lie algebra depends entirely on these intersection numbers. The precise relation to the Cartan matrix is because the latter describes the commutators of the [[Simple root (root system)|simple root]]s, which are related to the two-cycles in the basis that is chosen.
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| − | | |
| − | Note that generators in the [[Cartan subalgebra]] are represented by open strings which are stretched between a D-brane and itself.-->
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| − | ==参照項目==
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| − | * [[ディンキン図形]](Dynkin diagram)
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| − | * {{仮リンク|例外ジョルダン代数|en|Exceptional Jordan algebra}}(Exceptional Jordan algebra)
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| − | * {{仮リンク|基本表現 (表現論)|label=基本表現|en|Fundamental representation}}(Fundamental representation)
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| − | * [[キリング形式]]
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| − | * [[単純リー群]](Simple Lie group)
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| − | ==参考文献==
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| − | * {{cite book | author=William Fulton | authorlink=William Fulton (mathematician) |author2=Joe Harris |authorlink2=Joe Harris (mathematician) | title=Representation theory: A first course | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=129 | publisher=Springer-Verlag | year=1991 | isbn=0-387-97495-4 | page=334 }}
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| − | * {{cite book | author=James E. Humphreys | title=Introduction to Lie algebras and representation theory | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=9 | publisher=Springer-Verlag | year=1972 | isbn=0-387-90052-7 | pages=55–56 }}
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| − | * {{Cite book|last=Kac|first= Victor G.|title=Infinite Dimensional Lie Algebras|edition=3rd|publisher=Cambridge University Press|year= 1990|isbn=978-0-521-46693-6}}.
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| − | == 外部リンク ==
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| − | * {{springer|title=Cartan matrix|id=p/c020530}}
| |
| − | * {{mathworld | urlname = CartanMatrix | title = Cartan matrix }}
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| − | | |
| − | {{DEFAULTSORT:かるたんきようれつ}}
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| − | [[Category:行列]]
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| − | [[Category:リー環論]]
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| − | [[Category:表現論]]
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| − | [[Category:数学に関する記事]]
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