円柱座標変換

円柱座標変換（えんちゅうざひょうへんかん）とは、3次元ユークリッド空間 （数ベクトル空間)の、非線形な座標変換の一つである。円柱座標変換の逆写像のことを、円柱座標系という。円柱座標系は、極座標系の一種である。

円柱座標変換は、電子レンズなど、軸対称な系の計算によく用いられる。

定義

定義

円柱座標変換Φとは、

[math]\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right)=\Phi (r,\theta ,\zeta )=\left( \begin{matrix} r\cos \theta \\ r\sin \theta \\ \zeta \\ \end{matrix} \right)[/math]　　(1-1-1)

で表される、r -θ-ζ空間からx -y -z 空間への多変数ベクトル値関数のことである。式（1-1-1）で定義されたΦに相似変換、場合によっては正則なアフィン変換を施したものも、円柱座標変換ということがあるので、特に混乱が生じる場合には（1-1-1）で定義されたΦを標準的な円柱座標変換ということにする。

r-θ-ζ空間、x-y-z空間の正体

数学的には、r -θ-ζ空間、x -y -z 空間は、共に3次元実数ベクトル空間（[math]\mathbb{R}^{3}[/math]）である。r -θ-ζ空間においては、第一軸方向をr 方向（r 軸）、第二軸方向をθ方向（θ軸）、第三軸方向をζ方向（ζ軸）とする。x -y -z 空間においても同様に、第一軸方向をx 方向（x 軸）、第二軸方向をy 方向（y 軸）、第三軸をz 方向（z軸）とする。この三軸によって定まる座標系を、「x -y -z 空間の標準座標系」（O-xyz 系）という。

定義域

式(1-1-1)の円柱座標変換Φ はr -θ-ζ空間のすべての点において、矛盾なく定義がされている。例えば、

[math]\Phi (-3,2\pi ,7)=\left( \begin{matrix} -3 \\ 0 \\ 7 \end{matrix} \right)[/math]　　(1-3-1)

のように、どのような (r, θ, ζ) に対しても、ただ一つの行き先を定めることができる。

しかし、本記事では特段の断りがない限り、Φ の定義域は式(1-3-2) に定める領域 V に制限されているものとする。V は、r -θ-ζ の部分集合であり、閉集合である（開集合ではない）。

[math]V=\left\{ \left. \begin{pmatrix} r \\ \theta \\ \zeta \end{pmatrix} \left| \ \begin{array}{l} 0\le r \\ 0\le \theta \le 2\pi \\ -\infty \lt \zeta \lt \infty \end{array} \right. \right\} \right.[/math]　　(1-3-2)

つまり、Φ に代入されるものは、

[math]\left\{ \begin{array}{l} 0\le r \\ 0\le \theta \le 2\pi \\ -\infty \lt \zeta \lt \infty \end{array} \right.[/math]　　(1-3-3)

のすべての条件を満たす点全てに限って考えることにする。

Φ の定義域を式(1-3-2) の V に制限してもよい理由は、全射性が保たれていることによる。

円柱座標系との関係

x -y -z 空間に、標準座標系（O-xyz 系；「r -θ-ζ空間、x -y -z 空間の正体」の項参照）が定められているとする。このとき、円柱座標系P とは、

[math]\left( \begin{matrix} r \\ \theta \\ \zeta \\ \end{matrix} \right)= P (x,y ,z)=[/math][math]\left( \begin{matrix} \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \\ \theta (x,y,z) \\ z \\ \end{matrix} \right)[/math]　　(1-4-1)

で表される、x -y -z からr -θ-ζ空間への多変数ベクトル値関数のことである。但し、θ(x , y , z) は、以下の定義式(1-4-2)で与えられるスカラー値関数である。θ(x , y , z) の定義域はx -y -z 空間の原点以外である。その他の成分は、x -y -z 空間全域で定義されている。従って、円柱座標系P の定義域は、x -y -z 空間の原点以外である。

[math]\theta (x,y,z)=\left\{ \begin{matrix} {{\tan }^{-1}}(y/x) & (x\gt 0,y\gt 0) \\ \frac{\pi}{2} & (x=0,y\gt 0) \\ \pi+{{\tan }^{-1}}(y/x) & (x\lt 0) \\ \frac{3\pi}{2} & (x=0,y\lt 0) \\ 2\pi+{{\tan }^{-1}}(y/x) & (x=0,y\lt 0) \\ \end{matrix} \right.[/math]　　(1-4-2)

円柱座標系は、以下の手順で、幾何学的に理解することもできる。

• 任意の点Pからxy平面に下した垂線の足をQとする。
• 線分OQの長さをrとする。
• 線分QPの長さをζとする。
• x軸と線分OQのなす角度をθとする。

また、円柱座標系と円柱座標変換は、相互に逆変換となっている。

微分

微分

円柱座標変換の偏導関数は、

[math]\frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta,\zeta)=\left( \begin{matrix} \cos\theta \\ \sin\theta \\ 0 \\ \end{matrix} \right)[/math]　　(2-1-1)

[math]\frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,\zeta )=\left( \begin{matrix} -r\sin (\theta ) \\ r\cos (\theta ) \\ 0 \\ \end{matrix} \right)[/math]　　(2-1-2)

[math]\frac{\partial \Phi }{\partial \zeta}(r,\theta,\zeta)=\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)[/math]　　(2-1-3)

である。これらの定義域は、r -θ-ζ空間全域である。

従って、円柱座標変換の点 (r , θ, ζ) におけるヤコビ行列J Φ(r , θ, ζ) およびヤコビアン det(J Φ(r , θ, ζ)) は以下のようになる。ヤコビ行列、ヤコビアン共に定義域はr -θ-ζ空間全域である。

[math]{{J}{\Phi }}(r,\theta ,\zeta )=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -r\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & r\cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)[/math]　　(2-1-4)

[math]\det ({{J}{\Phi }}(r,\theta ,\zeta ))=\left|\begin{matrix} \cos \theta & -r\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & r\cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right|=r[/math]　　(2-1-5)

従って、円座標のときと同じく、特異点（ヤコビアンが 0 となる点）は、r = 0 となる点全て、つまり (0, θ, ζ) の形であらわされる点全てである。これらの点は全てx -y -z 空間上ではz 軸に移る。

法線

標準的な円柱座標変換Φに対し、N_r , N_θ , N_ζ を以下のように定義し、それぞれr 法線、θ法線、ζ法線と呼ぶ。これらの定義域は、r -θ-ζ空間全域である。

[math]{{\mathbf{N}}_{r}}(r,\theta ,\zeta )=\frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ) \right) \right\|}=\left( \begin{matrix} \cos\theta \\ \sin\theta \\ 0 \\ \end{matrix} \right)[/math]　　(2-2-1)

[math]{{\mathbf{N}}_{\theta }}(r,\theta ,\zeta )=\frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta ) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta ) \right) \right\|}=\left( \begin{matrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \\ 0 \\ \end{matrix} \right)[/math]　　(2-2-2)

[math]{{\mathbf{N}}_{z}}(r,\theta,\zeta)=\frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta,\zeta) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta,\zeta) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta,\zeta) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta,\zeta) \right) \right\|}=\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)[/math]　　(2-2-3)

ここで、“×”はベクトル積を意味する。これらの幾何学的な意味は、後述するが、幾何学的な意味でも、これらは法線になっている。

円柱と円柱座標

この節では、後述の説明のために記号を定義する。

円柱と円柱座標

M を、[math]x-y-z[/math]空間で半径r₀ 、高さz₀のふたと底のある、中身のつまった円柱（以降「ソリッド円柱」と呼ぶ）とする。式で書くと

[math]M=\left\{ \left. \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{r}_{0}} \\ 0\le z\le {{z}_{0}} \\ \end{matrix} \right. \right\} \right.[/math]　　(3-1-1)

である。さらに、「ソリッド円柱」に該当するもの全ては、このM に相似変換を加えれば集合として実現できるので、以下は、M のみについて考える。

次に、このM を、円柱座標変換Φとr -θ-ζ空間内の直方体（六面体）L を用いてパラメータ付け（パラメトライズ）することを考える。r -θ-ζ空間内の直方体L を

[math]L=\left\{ \left. \left( \begin{matrix} r \\ \theta \\ \zeta \\ \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix} 0\le r\le {{r}_{0}} \\ 0\le \theta \le 2\pi \\ 0\le \zeta \le {{z}_{0}} \\ \end{matrix} \right. \right\} \right.[/math]　　(3-1-2)

と定義する。L の3辺の長さはそれぞれ、r₀ , θ₀ , 2πである。M は、L のΦによる像集合である。すなわち

[math]M=\Phi(L)[/math]　　(3-1-3)

である。上式の等号は、集合として等しいことを意味する。

円柱表面

式(3-1-1)のソリッド円柱M の表面を[math]\partial M[/math]と書き、円柱表面、円筒面、M の表面、あるいはM の境界面と呼ぶ。表面∂M は、以下のΔ₁ , Δ₂ , Δ₃ に分割することができる。

[math]{{\Delta }_{1}}=\left\{ \left. \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{r}_{0}} \\ z=0 \\ \end{matrix} \right. \right\} \right.[/math]　　(3-2-1)

[math]{{\Delta }_{2}}=\left\{ \left. \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{r}_{0}} \\ 0\le z\le {{z}_{0}} \\ \end{matrix} \right. \right\} \right.[/math]　　(3-2-2)

[math]{{\Delta }_{3}}=\left\{ \left. \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{r}_{0}} \\ z={{z}_{0}} \\ \end{matrix} \right. \right\} \right.[/math]　　(3-2-3)

Δ₁ , Δ₂ , Δ₃ をそれぞれ、下面、側面、上面という。

逆に言うと、Δ₁ , Δ₂ , Δ₃ を貼り合わせたものが∂M である。集合演算を用いると、

[math]\partial M= {\Delta}_{1}\cup{\Delta}_{2}\cup{\Delta}_{3}[/math]　　(3-2-4)

のようになる。

次に、Δ₁ , Δ₂ , Δ₃ を、円柱座標変換を利用してパラメトライズすることを考える。D₁ , D₂ , D₃ を以下のように定める。

[math]{{D}_{1}}=\left\{ \left. \left( \begin{matrix} r \\ \theta \\ \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix} 0\le r\le {{r}_{0}} \\ 0\le \theta \le 2\pi \\ \end{matrix} \right. \right\} \right.[/math]　　(3-2-5)

[math]{{D}_{2}}=\left\{ \left. \left( \begin{matrix} \theta \\ \zeta \\ \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix} 0\le \theta \le 2\pi \\ 0\le \zeta \le {{z}_{0}} \\ \end{matrix} \right. \right\} \right.[/math]　　(3-2-6)

[math]{{D}_{3}}=\left\{ \left. \left( \begin{matrix} r \\ \theta \\ \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix} 0\le r\le {{r}_{0}} \\ 0\le \theta \le 2\pi \\ \end{matrix} \right. \right\} \right.[/math]　　(3-2-7)

D₁ , D₂ , D₃ は、それぞれr -θ平面、θ-ζ平面、r -θ平面の部分集合となっている。また、D₁ とD₃ は集合として全く等しいものである。

また、x -y -z 空間に値を取るベクトル値関数I₁ , I₂ , I₃ を以下のように定義する。I₁ , I₂ , I₃ の定義域は、本来的にはそれぞれr -θ平面、θ-ζ平面、r -θ平面であるが、ここでは、それぞれの定義域をD₁ , D₂ , D₃ に制限して考えることにする。これらI₁ , I₂ , I₃ を、それぞれΔ₁ , Δ₂ , Δ₃ のパラメータと呼ぶ。

[math]\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right)={{\mathbf{I}}_{1}}(r,\theta )=\Phi (r,\theta ,0)=\left( \begin{matrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \\ 0 \\ \end{matrix} \right)[/math]　　(3-2-8)

[math]\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right)={{\mathbf{I}}_{2}}(\theta ,\zeta )=\Phi ({{r}_{0}},\theta ,\zeta )=\left( \begin{matrix} {{r}_{0}}\cos\theta \\ {{r}_{0}}\sin\theta \\ \zeta \\ \end{matrix} \right)[/math]　　(3-2-9)

[math]\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right)={{\mathbf{I}}_{3}}(r,\theta )=\Phi (r,\theta ,{{z}_{0}})=\left( \begin{matrix} r\cos (-\theta ) \\ r\sin (-\theta ) \\ {{z}_{0}} \\ \end{matrix} \right)[/math]　　(3-2-10)

Δ₁ , Δ₂ , Δ₃ は、それぞれD₁ , D₂ , D₃ のI₁ , I₂ , I₃ による像集合となっている：

[math]\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{\Delta }_{1}}={{\mathbf{I}}_{1}}({{D}_{1}})\\ {{\Delta }_{2}}={{\mathbf{I}}_{2}}({{D}_{2}}) \\ {{\Delta }_{3}}={{\mathbf{I}}_{3}}({{D}_{3}}) \\ \end{array} \right.[/math]　　(3-2-11)

ここで、“＝”は集合としての等号である。例えば、Δ₁ = I₁(D₁) とは、Δ₁ とI₁ (D₁) が集合として等しいことを意味している。

Δ₁ , Δ₂ , Δ₃ それぞれの法線ベクトルを、N_Δ1 , N_Δ2 , N_Δ3と書く：

[math]{{\mathbf{N}}_{{{\Delta }_{1}}}}(r,\theta ) = \frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,0) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,0) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,0) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }(r,\theta ,0) \right) \right\|} = {{\mathbf{N}}_{\zeta }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}}) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)[/math]　　(3-2-12)

[math]{{\mathbf{N}}_{{{\Delta }_{2}}}}(\theta ,\zeta ) = \frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }({r}_{0},\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta ) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial \zeta }({r}_{0},\theta ,\zeta ) \right)\times \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta ) \right) \right\|} = {{\mathbf{N}}_{r}}(r,\theta ,\zeta ) = \left( \begin{matrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \\ 0 \\ \end{matrix} \right)[/math]　　(3-2-13)

[math]{{\mathbf{N}}_{{{\Delta }_{3}}}}(r,\theta ) = \frac{\left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta_{0}) \right)\times \left( -\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta } \right)(r,\theta ,\zeta_{0}) \right)}{\left\| \left( \frac{\partial \Phi }{\partial r}(r,\theta ,\zeta_{0}) \right)\times \left( -\left( \frac{\partial \Phi }{\partial \theta } \right)(r,\theta ,\zeta_{0}) \right) \right\|} = -{{\mathbf{N}}_{\zeta }}(r,\theta ,\zeta_{0}) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ \end{matrix} \right)[/math]　　(3-2-14)

N_Δ1 , N_Δ2 , N_Δ3 の定義域は、それぞれD₁ , D₂ , D₃ である。ここで、N_θに平行なものがないことに注意されたい。

ベクトル場

x -y -z 空間で定義されたベクトル場X をx -y -z 座標系について表示すると

[math]\mathbf{X}(x,y,z)=\left( \begin{array}{c} {X}_{x}(x,y,z)\\ {X}_{y}(x,y,z)\\ {X}_{z}(x,y,z)\\ \end{array} \right)[/math]　　(4-1-1)

となる。これを円柱座標表示に変換することを考える。まず、スカラー値関数X_r (r , θ, ζ) , X_θ (r , θ, ζ) , X_ζ (r , θ, ζ) を、

[math]\left\{ \begin{matrix} {{X}_{r}}=\mathbf{X}\cdot {{\mathbf{N}}_{r}} \\ {{X}_{\theta }}=\mathbf{X}\cdot {{\mathbf{N}}_{\theta }} \\ {{X}_{\zeta}}=\mathbf{X}\cdot {{\mathbf{N}}_{z}} \\ \end{matrix} \right.[/math]　(4-1-2)

と定義する。正確に書くと

[math]\left\{ \begin{matrix} X_r (r,\theta,\zeta) = \mathbf{X}\left(\Phi(r,\theta,\zeta)\right) \cdot {\mathbf{N}_r} (r,\theta,\zeta) \\ X_\theta(r,\theta,\zeta) = \mathbf{X}\left(\Phi(r,\theta,\zeta)\right) \cdot {\mathbf{N}_\theta}(r,\theta,\zeta) \\ X_\zeta (r,\theta,\zeta) = \mathbf{X}\left(\Phi(r,\theta,\zeta)\right) \cdot {\mathbf{N}_\zeta} (r,\theta,\zeta) \end{matrix} \right.[/math]　(4-1-3)

である。ここで、・は内積を意味する。定義式(4-1-3)から明らかなように、これらの定義域はr -θ-ζ空間全域（r = 0 となる点を含む）である。

ここで以下が成立する。”[math]\circ[/math]”は、合成関数の意味である。

[math]\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{X}_{r}}=({X}_{x}\circ\Phi)\cos\theta + ({X}_{y}\circ\Phi)\sin \theta \\ {{X}_{\theta }}=-({X}_{x}\circ\Phi)\sin\theta + ({X}_{y}\circ\Phi)\cos \theta \\ {{X}_{\zeta}}={{X}_{z}\circ\Phi} \\ \end{array} \right.[/math]　　　(4-1-4)

またはこれを逆に解くと

[math]\left\{\begin{array}{*{35}{l}} {{X}_{x}}\circ \Phi ={{X}_{r}}\cos\theta -{{X}_{\theta }}\sin \theta \\ {{X}_{y}}\circ \Phi ={{X}_{r}}\sin\theta +{{X}_{\theta }}\cos \theta \\ {{X}_{z}}\circ \Phi ={{X}_{\zeta }} \\ \end{array} \right.[/math]　　　(4-1-5)

が分かる。

また、次の等式がr = 0 となる点を含むすべての (r , θ, ζ) に対して成立する。

[math]\mathbf{X}(\Phi (r,\theta ,z))=({{X}_{r}} {{\mathbf{N}}_{r}})(r,\theta ,z)+({{X}_{\theta }} {{\mathbf{N}}_{\theta }})(r,\theta ,z)+({{X}_{z}}{{\mathbf{N}}_{z}})(r,\theta ,z)[/math]　　　(4-1-6)

式(4-1-6)を、ベクトル場の円柱座標表示という。より正確な言い方をすると、「x -y -z 空間で定義されたベクトル場X の円柱座標表示」という。

積分

体積分

ここではx -y -z 空間で定義されたスカラー値関数f の、式(3-1-1)の円柱M 内部での積分

[math]{\int}_{M}f\ dxdydz[/math]　　(5-1-1)

の計算方法を説明する。円柱M について

[math]M=\left\{ \left. \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{r}_{0}} \\ 0\le z\le {{z}_{0}} \\ \end{matrix} \right. \right\} \right.[/math][math]=\left\{ \left. \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix} -r_0 \le x \le r_0 \\ -\sqrt{r_0^2-x^2} \le y \le \sqrt{r_0^2-x^2}\\ 0 \le z \le z_0 \end{matrix} \right. \right\} \right.[/math]　　(5-1-2)

が成立することに注意すると、f の積分は以下のように累次積分に帰着されることが分かる。

[math]\int_{M}{f\ dxdydz} = \int_{z=-{{z}_{0}}}^{z={{z}_{0}}}{\int_{x=-{{r}_{0}^{}}}^{x=r}{\int_{y=-\sqrt{{{r}_{0}^{2}}-{{x}^{2}}}}^{y=\ \sqrt{{{r}_{0}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\ f(x,y,z)\ dxdydz}}}[/math]　　(5-1-3)

また、式(3-1-2)の直方体L に対しM = Φ(L )（式(3-1-3)）であることと、ヤコビアン（式(2-1-5)）に注意して、積分の変数変換公式を用いると、

[math]\begin{align}\int_{M}^{{}}{f\ dxdydz} &= \int_{L} {(f\circ\Phi)\cdot (\det J\Phi )\ drd\theta d\zeta } \\ &= {\int_{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }\int_{\zeta =-{{z}_{0}}}^{\zeta ={{z}_{0}}}{\ r\cdot \left( f\circ \Phi \right)(r,\theta ,\zeta )\ drd\theta d\zeta }}} \end{align}[/math]　　(5-1-4)

が分かる。

以上、まとめると、

[math]\begin{align} \int_{M} {f\ dxdydz} &= \int_{z=-z_0}^{z=z_0} {\int_{x=-r_0}^{x=r}{\int_{y=-\sqrt{r_0^2-x^2}}^{y=\ \sqrt{r_0^2-x^2}}{\ f(x,y,z)\ dxdydz}}} \\ &= \int_{r=0}^{r=r_0}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\int_{\zeta =-z_0}^{\zeta =z_0}{\ r\cdot \left( f\circ \Phi \right)(r,\theta ,\zeta )\ dr d\theta d\zeta }}} \end{align}[/math]　(5-1-5)

がわかる。

面積分

ここでは、ベクトル場の円柱表面∂M 上での面積分の計算方法を説明する。

x -y -z 空間で定義されたベクトル場X に対して、円柱面∂M 上の面積分を

[math]\int_{\partial \mathbf{M}}{\mathbf{X}} = \int_{{{\Delta }_{1}}}{\mathbf{X}}+\int_{{{\Delta }_{2}}}{\mathbf{X}}+\int_{{{\Delta }_{3}}}{\mathbf{X}}[/math]　　　(5-2-1)

で定める。但し、右辺の各項は

[math]\int_{{{\Delta }_{1}}}{\mathbf{X}}=\int_{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left( \mathbf{X}\cdot \left( \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial r}\times \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial \theta } \right) \right)}}\ d\theta dr[/math]　　　(5-2-2)

[math]\int_{{{\Delta }_{2}}}{\mathbf{X}}=\int_{\zeta =0}^{\zeta ={{\zeta }_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left( \mathbf{X}\cdot \left( \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{2}}}{\partial \theta }\times \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{2}}}{\partial \zeta } \right) \right)}}\ d\theta d\zeta[/math]　　　(5-2-3)

[math]\int_{{{\Delta }_{3}}}{\mathbf{X}}=\int_{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left( \mathbf{X}\cdot \left( \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{3}}}{\partial r}\times \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{3}}}{\partial \theta } \right) \right)}}\ d\theta dr[/math]　　　(5-2-4)

である。ここで、

[math]\mathbf{X}\cdot \left( \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial r}\times \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial \theta } \right) = \mathbf{X}\cdot \frac{\left( \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial r}\times \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial \theta } \right)}{\left\| \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial r}\times \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial \theta } \right\|}\left\| \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial r}\times \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial \theta } \right\| = \left( \mathbf{X}\cdot {{\mathbf{N}}_{\zeta }} \right)\left\| \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial r}\times \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{1}}}{\partial \theta } \right\| = r\cdot {{X}_{\zeta }}[/math]　(5-2-5)

同様に、

[math]\mathbf{X}\cdot \left( \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{2}}}{\partial \theta }\times \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{2}}}{\partial \zeta } \right) = {{r}_{0}}\cdot {{X}_{r}}[/math]　　　(5-2-6)

[math]\mathbf{X}\cdot \left( \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{3}}}{\partial \theta }\times \frac{\partial {{\mathbf{I}}_{3}}}{\partial \zeta } \right) = -r\cdot {{X}_{\zeta }}[/math]　　　(5-2-7)

なので、

[math]\int_{{{\Delta }_{1}}}{\mathbf{X}}=\int_{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r\cdot {{X}_{\zeta }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})}}\ d\theta dr[/math]　　　(5-2-8)

[math]\int_{{{\Delta }_{2}}}{\mathbf{X}}=\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{{{r}_{0}}\cdot {{X}_{r}}({{r}_{0}},\theta ,\zeta )}\ d\theta d\zeta[/math]　　　(5-2-9)

[math]\int_{{{\Delta }_{3}}}{\mathbf{X}}=\int_{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{-r\cdot{{X}_{\zeta }}(r,\theta ,0)}}\ d\theta dr[/math]　　　(5-2-10)

である。従って、

[math]\int_{\partial \mathbf{M}}{\mathbf{X}}=\int_{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }r{\left( {{X}_{\zeta }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})-{{X}_{\zeta }}(r,\theta ,0) \right)d\theta dr}}\ \ +\int_{\zeta =0}^{\zeta ={{\zeta }_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{{{r}_{0}}{{X}_{r}}({{r}_{0}},\theta ,\zeta )}}\ d\theta d\zeta[/math]　　　(5-2-11)

が分かる。

ガウスの発散定理

x -y -z 空間で定義されたベクトル場X に対して、

[math]\int_{\partial M}{\mathbf{X}}=\int_{M}{\operatorname{div}\textbf{X}\ dxdydz}[/math]　　　(5-3-1)

が成立する。この事実を、円柱面におけるガウスの発散定理という。ここで、

[math]\operatorname{div}\mathbf{X} = \left( \frac{\partial {{X}_{x}}}{\partial x} \right)+\left( \frac{\partial {{X}_{y}}}{\partial y} \right)+\left( \frac{\partial {{X}_{z}}}{\partial z} \right)[/math]　　　(5-3-2)

はベクトル場X の発散である。以下、証明を行う。

証明の準備

(5-1-5)、(5-2-2)、(5-2-3)、(5-2-4)より、

[math]\int_{\zeta =0}^{\zeta ={{\zeta }_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{{{r}_{0}}{{X}_{r}}({{r}_{0}},\theta ,\zeta )}}\ d\theta d\zeta = \int_{M}{\left( \left( \frac{\partial {{X}_{x}}}{\partial x} \right)+\left( \frac{\partial {{X}_{y}}}{\partial y} \right)\ \right)dxdydz}[/math]　　　(5-3-3)

[math]\int_{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r\left( {{X}_{\varsigma }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})-{{X}_{\zeta }}(r,\theta ,0) \right)}}\ \ d\theta dr = \int_{M}{\left( \frac{\partial {{X}_{z}}}{\partial z} \right)dxdydz}[/math]　　　(5-3-4)

を示せばよいことがわかる。

x,y成分についての証明

まず、式(5-3-3)を示す。

x -y 平面上の曲線c (t ) を、

[math]c(t)=\left( \begin{matrix} {{r}_{0}}\cos t \\ {{r}_{0}}\sin t \\ \end{matrix} \right)[/math]　　　(5-3-5)

とする。また、変数z を固定して考えることで、x -y 平面上の二次元ベクトル場

[math]\mathbf{A}\left( x,y \right)=\left( \begin{matrix} a\left( x,y \right) \\ b\left( x,y \right) \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -{{X}_{y}}(x,y,z) \\ {{X}_{x}}(x,y,z) \\ \end{matrix} \right)[/math]　　　(5-3-6)

を考える。また、平面曲線と、二次元ベクトル場に対しては、(5-3-6)に対するグリーンの定理：

[math]\int_{c}^{{}}{A}=\int_{x=-{{r}_{0}}}^{x={{r}_{0}}}{\int_{-\sqrt{{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}^{\sqrt{{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}{\left( \frac{\partial b}{\partial x}-\frac{\partial a}{\partial y} \right)dxdy}}[/math]　　　(5-3-7)

が成立することは、既知とする。

このとき

[math]\begin{align} \int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{r_0 X_r(r_0,\theta ,\zeta )}\ d\theta &= \int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\left((X_x \circ \Phi )r_0\cos\theta + (X_y\circ \Phi)r_0\sin\theta \right)}\ d\theta \\ &= \int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\left(X_x(r_0 \cos\theta, r_0 \sin\theta, \zeta)r_0 \cos\theta +X_y(r_0\cos\theta, r_0\sin\theta, \zeta)r_0\sin\theta \right)}\ d\theta \\ &= \int_{t=0}^{t=2\pi}{\left( \begin{matrix} -X_y(r_0 \cos t,r_0 \sin t,\zeta ) \\ X_x(r_0 \cos t,r_0 \sin t,\zeta ) \\ \end{matrix} \right)}\ \cdot \left( \begin{matrix} -r_0 \sin t \\ r_0 \cos t \\ \end{matrix} \right)dt \\ &= \int_{t=0}^{t=2\pi }{\left( \begin{matrix} a\circ c(t) \\ b\circ c(t) \\ \end{matrix} \right)}\ \cdot \left( \frac{dc}{dt} \right)dt \\ &= \int_{x=-{{r}_{0}}}^{x={{r}_{0}}}{\int_{y=-\sqrt{{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}^{y=\sqrt{{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}{\left( \frac{\partial b}{\partial x}-\frac{\partial a}{\partial y} \right)dydx}} \\ &= \int_{x=-{{r}_{0}}}^{x={{r}_{0}}}{\int_{y=-\sqrt{{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}^{y=\sqrt{{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}{\left( \frac{\partial {{X}_{x}}(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial {{X}_{y}}(x,y,z)}{\partial y} \right)dydx}} \end{align}[/math]　　　(5-3-8)

が成り立つ。従って、

[math]\int_{\zeta =0}^{\zeta ={{\zeta }_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{{{X}_{r}}({{r}_{0}},\theta ,\zeta )}}\ d\theta d\zeta = \int_{z=0}^{z={{\zeta }_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{{{X}_{r}}({{r}_{0}},\theta ,z)}}\ d\theta dz[/math]

[math]\int_{z=0}^{z={{\zeta }_{0}}}{\int_{x=-r}^{x=r}{\int_{y=-\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}}^{y=\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\left( \frac{\partial {{X}_{x}}(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial {{X}_{y}}(x,y,z)}{\partial y} \right)dydx}}}dz[/math]　　　(5-3-9)

z成分について

次に、

[math]\int_{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r\left( {{X}_{\varsigma }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})-{{X}_{\zeta }}(r,\theta ,0) \right)}}\ \ d\theta dr = \int_{M}{\left( \frac{\partial {{X}_{z}}}{\partial z} \right)dxdydz}[/math]　　　(5-3-10)

を示す。

[math]\int_{z=0}^{z={{\zeta }_{0}}}{\frac{\partial {{X}_{\zeta }}(r,\theta ,\zeta )\ }{\partial \zeta }d\zeta } ={{X}_{\zeta }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})-{{X}_{\zeta }}\ (r,\theta ,0)[/math]　　　(5-3-11)

なので、

[math]\begin{align} \int_{r=0}^{r=r_0}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{r\left(X_\varsigma(r,\theta ,\zeta_0)-X_\zeta(r,\theta ,0) \right)\ \ d\theta}dr} &= \int_{r=0}^{r=r_0}{r\left(\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\left(X_\varsigma(r,\theta,\zeta_0)-X_\zeta(r,\theta,0) \right)d\theta}\right)\ \ dr}\\ &= \int_{r=0}^{r=r_0}{r\left(\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\int_{\zeta =0}^{\zeta =\zeta_0}{\frac{\partial X_\zeta(r,\theta,\zeta)}{\partial \zeta}d\zeta}d\theta}\right)\ dr} \\ & =\int_{r=0}^{r=r_0}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\int_{\zeta =0}^{\zeta =\zeta_0}{\left(\frac{\partial X_\zeta(r,\theta,\zeta)}{\partial \zeta} \right)r d\zeta}d\theta}dr} \\ &= \int_{r=0}^{r=r_0}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\int_{\zeta =0}^{\zeta =\zeta_0}{\left( \left( \frac{\partial X_z}{\partial z} \right){}^\circ \Phi (r,\theta ,\zeta ) \right)r d\zeta}d\theta}dr} \\ &= \int_{r=0}^{r=r_0}{\int_{\theta =0}^{\theta =2\pi}{\int_{\zeta =0}^{\zeta =\zeta_0}{\left( \left( \frac{\partial X_z}{\partial z} \right){}^\circ \Phi (r,\theta ,\zeta ) \right)\left( \det (J\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right)d\zeta} d\theta}dr} \\ &= \int_{z=0}^{z=\zeta_0}{\int_{x=-r}^{x=r}{\int_{y=-\sqrt{r^2-x^2}}^{y=\sqrt{r^2-x^2}}{\left( \frac{\partial X_z(x,y,z)}{\partial z} \right)dy}dx}dz} \end{align}[/math]　　　(5-3-12)

■

スカラー関数に作用する微分作用素

x-y-z空間における偏微分

f を、x -y -z 空間で定義されたスカラー値関数とする。このとき、r ≠ 0 をみたす任意の (r , θ, ζ) に対して以下の(6-1-1)～(6-1-3)の等式が成立する：

[math]\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) = \cos \theta \left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial r} \right)(r,\theta ,z) \right) - \frac{\sin \theta}{r}\left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,z) \right)[/math]　(6-1-1)

[math]\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) = \sin\theta \left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial r} \right)(r,\theta ,z) \right) + \frac{\cos\theta}{r}\left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,z) \right)[/math]　(6-1-2)

[math]\left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)(\Phi (r,\theta ,z)) = \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \zeta } \right)(r,\theta ,z)[/math]　(6-1-3)

上記の3式は、しばしは略記的に以下のように表記される：

[math]\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)=\cos\theta \left( \frac{\partial f}{\partial r} \right)-\frac{\sin\theta}{r}\left( \frac{\partial f}{\partial \theta } \right) \\ \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)=\sin\theta \left( \frac{\partial f}{\partial r} \right)+\frac{\cos\theta}{r}\left( \frac{\partial f}{\partial \theta } \right) \\ \left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)=\left( \frac{\partial f}{\partial \zeta } \right) \\ \end{array} \right.[/math]　(6-1-4)

勾配作用素

勾配 grad ：

[math]\begin{align} (\operatorname{grad}f)(x,y,z) &= \left( \begin{matrix} (\partial f/\partial x)(x,y,z) \\ (\partial f/\partial y)(x,y,z) \\ (\partial f/\partial z)(x,y,z) \\ \end{matrix} \right) \\ &= \left( \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)(x,y,z) \right)\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) + \left( \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)(x,y,z) \right)\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right) + \left( \left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)(x,y,z) \right)\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)\end{align}[/math] (6-2-1)

を円柱座標変換すると

．．．

以下、証明を行う。(grad f )(Φ(r , θ, ζ)) と、N_r (r , θ, ζ) の内積を取ると、

[math]\begin{align} \left[ \left(\operatorname{grad}f \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right]\cdot \left( {{\mathbf{N}}_{r}}(r,\theta ,\zeta ) \right) =& \left( \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )),\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )),\left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right)\left( \begin{matrix} \cos\theta \\ \sin\theta \\ 0 \\ \end{matrix} \right) \\ =& \cos\theta \left( \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right)+\sin\theta \left( \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right) \\ =& \cos\theta \left[ \cos\theta \left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial r} \right)(r,\theta ,z) \right)-\frac{\sin\theta}{r}\left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,z) \right) \right]\\ &+ \sin\theta \left[ \sin\theta \left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial r} \right)(r,\theta ,z) \right)+\frac{\cos\theta}{r}\left( \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,z) \right) \right]\\ =& \left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial r} \right)(r,\theta ,z) \end{align}[/math]　(6-2-2)

であり、同様に、N_θ(r , θ, ζ) , N_ζ(r , θ, ζ) についても、

[math]\left[ \left(\operatorname{grad}f \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right]\cdot \left( {{\mathbf{N}}_{\theta }}(r,\theta ,\zeta ) \right)=\frac{1}{r}\left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,z)[/math] (6-2-3)

[math]\left[ \left(\operatorname{grad}f \right)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) \right]\cdot \left( {{\mathbf{N}}_{\zeta }}(r,\theta ,\zeta ) \right)=\left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial \zeta } \right)(r,\theta ,\zeta )[/math] (6-2-3)

が成り立つ。従って「ベクトル場の円柱座標表示」と同様にして、上の等式が示せる。

ラプラシアン

ラプラシアンについても、r ≠ 0 をみたす任意の(r , θ, ζ) に対して以下の等式が成立する。

[math]\left( \Delta f \right)\left( \Phi (r,\theta ,\zeta ) \right)= \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left( r\left( \frac{\partial (f\circ \Phi )}{\partial r} \right) \right)(r,\theta,\zeta) +\frac{1}{{{r}^{2}}}\left( \frac{{{\partial }^{2}}(f\circ \Phi )}{\partial {{\theta }^{2}}} \right)(r,\theta,\zeta) +\left( \frac{{{\partial }^{2}}(f\circ \Phi )}{\partial {{\xi }^{2}}} \right)(r,\theta,\zeta)[/math] (6-2-3)

ベクトル場に作用する微分作用素

発散

X を、x -y -z 空間で定義されたベクトル場とするとき、発散 div の円柱座標系表示として以下の等式が成立する。

[math](\operatorname{div}X)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) = \frac{1}{r}\left( \frac{\partial (r\cdot {{X}_{r}})}{\partial r} \right)(r,\theta ,\zeta )+\frac{1}{r}\left( \frac{\partial {{X}_{\theta }}}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,\zeta )+\left( \frac{\partial {{X}_{z}}}{\partial z} \right)(r,\theta ,\zeta )[/math]

回転

回転 rot の円柱座標系表示については、次の等式が成立する。

[math](\operatorname{rot}X)(\Phi (r,\theta ,\zeta )) = \left({{(\operatorname{rot}X)}_{r} }(r,\theta ,z) \right){{\mathbf{N}}_{r} }(r,\theta ,\zeta ) + \left({{(\operatorname{rot}X)}_{\theta}}(r,\theta ,z) \right){{\mathbf{N}}_{\theta}}(r,\theta ,\zeta ) + \left({{(\operatorname{rot}X)}_{\theta}}(r,\theta ,z) \right){{\mathbf{N}}_{\zeta }}(r,\theta ,\zeta ) [/math]

ただし

[math]{{(\operatorname{rot}X)}_{r}}(r,\theta ,z)=\frac{1}{r}\left( \frac{\partial {{X}_{\zeta }}}{\partial r} \right)(r,\theta ,z)-\left( \frac{\partial {{X}_{\theta }}}{\partial \zeta } \right)(r,\theta ,z)[/math]

[math]{{(\operatorname{rot}X)}_{\theta }}(r,\theta ,z)=\left( \frac{\partial {{X}_{r}}}{\partial \zeta } \right)(r,\theta ,z)-\left( \frac{\partial {{X}_{\zeta }}}{\partial r} \right)(r,\theta ,z)[/math]

[math]{{(\operatorname{rot}X)}_{\zeta }}(r,\theta ,z)=\frac{1}{r}\left( \frac{\partial (r{{X}_{r}})}{\partial r} \right)(r,\theta ,z)-\frac{1}{r}\left( \frac{\partial {{X}_{r}}}{\partial \theta } \right)(r,\theta ,z)[/math]

である。

曲線・運動

運動

x -y -z 空間における運動を表す曲線

[math]c(t)=\left( \begin{array}{l} x(t)\\ y(t)\\ z(t)\\ \end{array} \right)[/math] (8-1-1)

が、r -θ-ζ空間に値を取る曲線

[math]\gamma(t)=\left( \begin{array}{l} r(t)\\ \theta(t)\\ z(t)\\ \end{array} \right)[/math] (8-1-2)

と、円柱座標変換&Phi:を用いて、

[math]c(t)=\Phi(\gamma(t))[/math] (8-1-3)

と表せるとき、γ(t ) を「曲線c (t ) の円柱座標表示」、あるいは「運動c (t ) の円柱座標表示」と呼ぶ。

式(8-1-3)は、

[math]\left\{ \begin{array}{l} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\\ z=z\\ \end{array} \right.[/math] (8-1-4)

の両辺を時刻t に関する関数と考えること、つまり、

[math]\left\{ \begin{array}{l} x(r(t),\theta(t),z(t))=r(t)\cos\theta(t)\\ y(r(t),\theta(t),z(t))=r(t)\sin\theta(t)\\ z(r(t),\theta(t),z(t))=z(t) \\ \end{array} \right.[/math] (8-1-5)

と考えることと同じである。

速度ベクトル

x -y -z 空間における運動を表す曲線c (t ) の速度ベクトルv(t )：

[math]v(t)=\left(\frac{dc}{dt}\right)(t)[/math] (8-2-1)

について以下が成立する。

[math]\left( \begin{array}{l} {v}_{x}(t)\\ {v}_{y}(t)\\ {v}_{z}(t)\\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{l} (dx/dt)(t)\\ (dy/dt)(t)\\ (dz/dt)(t)\\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \cos\theta(t)-r(t)\cdot((d\theta /dt)(t))\cdot\sin\theta(t)\\ \sin\theta(t)-r(t)\cdot((d\theta /dt)(t))\cdot\cos\theta(t)\\ (dz/dt)(t)\\ \end{array} \right)[/math] (8-2-2)

但しv_x , v_y , v_z は、それぞれv(t ) のx 成分、y 成分、z 成分を意味する。

また、

[math]\left\{ \begin{array}{l} {v}_{r}(t)=v(t)\cdot{\textbf{N}}_{r}(c(t))\\ {v}_{\theta}(t)=v(t)\cdot{\textbf{N}}_{\theta}(c(t))\\ {v}_{z}(t)=v(t)\cdot{\textbf{N}}_{z}(c(t))\\ \end{array} \right.[/math] (8-2-3)

のように定義すると、

[math]\mathbf{v}(t)={{v}_{r}}(t){{\mathbf{N}}_{r}}(c(t))+{{v}_{\theta }}(t){{\mathbf{N}}_{\theta }}(c(t))+{{c}_{z}}(t){{\mathbf{N}}_{z}}(t)[/math] (8-2-4)

である。また、以下が成立する。

[math]\left\{ \begin{array}{l} {v}_{r}(t)=(dr/dt)(t)\\ {v}_{\theta}(t)=r(t)\cdot((d\theta /dt)(t))\\ {v}_{z}(t)=(dz/dt)(t)\\ \end{array} \right.[/math] (8-2-4)

加速度ベクトル

同様に曲線c (t ) の加速度ベクトルa(t ) ：

[math]\textbf{a}(t)= \left( \begin{array}{l} \frac{d\textbf{v}}{dt} \end{array} \right)(t)[/math] (8-3-1)

については以下が成立する。

[math]\mathbf{a}(t)={{a}_{r}}(t){{\mathbf{N}}_{r}}(c(t))+{{a}_{\theta }}(t){{\mathbf{N}}_{\theta }}(c(t))+{{a}_{z}}(t){{\mathbf{N}}_{z}}(c(t))[/math] (8-3-2)

但しa_x , a_y , a_z は、それぞれ a(t ) のx 成分、y 成分、z 成分を意味する。また、

[math]\left\{ \begin{array}{l} {a}_{r}(t)=a(t)\cdot{\textbf{N}}_{r}(c(t))\\ {a}_{\theta}(t)=a(t)\cdot{\textbf{N}}_{\theta}(c(t))\\ {a}_{z}(t)=a(t)\cdot{\textbf{N}}_{z}(c(t))\\ \end{array} \right.[/math] (8-3-2)

である。

さらに、以下が成立する。

[math]\left\{ \begin{array}{l} {{a}_{r}}(t)=[(({{d}^{2}}r/d{{t}^{2}})(t))-{{((d\theta /dt)(t))}^{2}}] \\ {{a}_{\theta }}(t)=[2((dr/dt)(t))(((d\theta /dt)(t)))+(r(t))(({{d}^{2}}\theta /d{{t}^{2}})(t))] \\ {{a}_{z}}(t)=({{d}^{2}}z/d{{t}^{2}})(t) \\ \end{array}\right.[/math] (8-3-4)