ヴィヴィアーニの定理

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図1：ヴィヴィアーニの定理

ヴィヴィアーニの定理（ヴィヴィアーニのていり、Viviani's theorem）は正三角形に関する幾何学の定理である。名前はイタリアの数学者ヴィンチェンツォ・ヴィヴィアーニに由来している。

定理

正三角形内部の点から3辺に下ろした垂線の長さの和は一定である。

図1では s+t+u がこれにあたる。

証明

内部の点を P と置くと、面積に関して S(ABC)=S(ABP)+S(BCP)+S(CAP) が成り立つ。これを変形することで容易に証明できる。

拡張

この定理は、任意の正多角形においても成り立つ。

正多角形だけでなく、条件を緩めた

• 全ての角の大きさが等しい多角形
• 全ての辺の長さが等しい凸な多角形

においても成り立つ。