直交関数列
数学において直交関数列(ちょっこうかんすうれつ、英: orthogonal functions)とは互いに直交する関数列の事である。
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定義
区間 (α, β) (−∞ ≤ α < β ≤ ∞) 上で定義された複素数値関数 f(x), g(x) に対し
- [math] \langle f, g \rangle =\int_{\alpha}^{\beta} \! f(x) g^{\ast}(x) \, dx [/math]
(α, β) 上の複素値関数の列 {φn(x)} が、この内積に対し、互いに直交し、
- [math] \langle \phi_m, \phi_n \rangle =\int_{\alpha}^{\beta} \! \phi_m(x) \phi_{n}^{\, \ast}(x) \, dx = 0 \quad (m \neq n) [/math]
であるとき、直交関数列であるという。
特に直交関数列のうち、ノルムが 1、すなわち
- [math] \|\phi\|^2 = \int_{\alpha}^{\beta} \! |\phi_n (x)|^2 \, dx=1[/math]
であるものものを正規直交関数列という。
また、実数値関数の列 {φn(x )} とある関数 w(x) ≥ 0 に対し、{(w(x))1/2φn(x)} が直交関数列をなし、
- [math] \int_{\alpha}^{\beta}\phi_m(x)\phi_n(x) w(x) \,dx = 0 \quad (m \neq n) [/math]
であるとき、この関数列を重み(荷重)w(x) の直交関数列という。
例
三角関数形
- 余弦関数系
1と余弦関数による列{1, cosx, cos2x, cos3x,…}は区間 [0, π] で直交関数系を成す。
- [math] \int_0^{\pi} \! 1 \, dx = \pi [/math]
- [math] \int_0^{\pi} \! 1 \cdot \cos{nx}\, dx = 0 \quad (n= 1, 2, \cdots) [/math]
- [math] \int_0^{\pi} \! \cos{mx} \cdot \cos{nx}\, dx = \frac{\pi}{2}\delta_{mn} \quad (m, n= 1, 2, \cdots) [/math]
- 正弦関数系
正弦関数による列 {sinx, sin2x, sin3x,…} は区間 [0, π] で直交関数系を成す。
- [math] \int_0^{\pi} \! \sin{mx} \cdot \sin{nx}\, dx = \frac{\pi}{2}\delta_{mn} \quad (m, n= 1, 2, \cdots) [/math]
- 三角関数系
{1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…} は [-π, π] で直交関数系を成す。
- [math] \int_{-\pi}^{\pi} \! 1 \, dx = 2\pi [/math]
- [math] \int_{-\pi}^{\pi} \!\! \cos{mx} \cdot \cos{nx}\, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \!\! \sin{mx} \cdot \sin{nx}\, dx = \pi \delta_{mn} \quad (m,n= 1, 2, \cdots) [/math]
- [math] \int_{-\pi}^{\pi} \!\! 1 \cdot \cos{nx}\, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \!\! 1 \cdot \sin{nx}\, dx = 0 \quad (n= 1, 2, \cdots) [/math]
- [math] \int_{-\pi}^{\pi} \!\! \cos{mx} \cdot \sin{nx}\, dx = 0 \quad (m,n= 1, 2, \cdots) [/math]
直交多項式
エルミート多項式
関係式
- [math] H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2} \frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2} \quad (n=0,1,2,\cdots) [/math]
で定義されるエルミート多項式は区間 (−∞, ∞) 上の重み e−x2/2 の直交関数系であり、
- [math] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} H_m(x)H_n(x) \, dx= n! \sqrt{2\pi} \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\cdots) [/math]
を満たす。
ルジャンドル多項式
関係式
- [math] P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \quad (n=0,1,2,\cdots) [/math]
で定義されるルジャンドル多項式は区間 [−1, 1] 上の直交関数系であり、
- [math] \int_{-1}^1 P_m(x)P_n(x) \, dx= \frac{2}{2n+1} \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\cdots) [/math]
を満たす。
ラゲール多項式
関係式
- [math] L_n(x)=\frac{e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^n e^{-x}) \quad (n=0,1,2,\cdots) [/math]
で定義されるラゲール多項式は区間 [0, ∞) 上の重み e−x の直交関数系を成し、
- [math] \int_{0}^{\infty} \! e^{-x} L_m(x)L_n(x) \, dx= \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\cdots) [/math]
を満たす。
チェビシェフ多項式
関係式
- [math] T_n(x)=\cos{(n \operatorname{arccos}x)} \quad (n=0,1,2,\cdots) [/math]
で定義されるチェビシェフ多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x2)−1/2 の直交関数系を成し、
- [math] \int_{-1}^1 \!\! \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} T_m(x)T_n(x) \, dx= \frac{\pi}{2} \delta_{mn} \quad (m,n = 0,1,2,\cdots) [/math]
を満たす。
ゲーゲンバウアー多項式
関係式
- [math]C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{(-2)^n}{n!} \frac{\Gamma(n+\alpha)\Gamma(n+2\alpha)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(2n+2\alpha)} (1-x^2)^{-\alpha+1/2}\frac{d^n}{dx^n}\left[(1-x^2)^{n+\alpha-1/2}\right][/math]
で定義されるゲーゲンバウアー多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x2)α − 1/2 の直交関数系を成し、
- [math] \int_{-1}^1 \! (1-x^2)^{\alpha-\frac{1}{2}} C_m^{(\alpha)}(x)C_n^{(\alpha)}(x) \, dx= \frac{\pi 2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)[\Gamma(\alpha)]^2} \delta_{mn} \quad (m,n =0,1,2,\cdots) [/math]
を満たす。
完備関数列
直交関数列で、
- [math]\int_{\alpha}^{\beta}f(x)e_n(x)dx=0\quad(n=1,2,\cdots)\quad\Longrightarrow\quad f(x)=0[/math]
となるもののことを言う。
例
[math]\{1,\cos(x),\cos(2x),\cos(3x),\cdots,\sin(x),\sin(2x),\sin(3x),\cdots\}[/math] (三角関数列)