コヒーレント状態
物理学とくに量子力学においてコヒーレント状態とは、消滅演算子の固有状態のことを指す。
Contents
光子数と位相の不確定性
光というひとつの電磁現象に対して、「波動として表現される古典的電磁場」と「粒子として表現される量子力学的な光子場」とでは記述法が全く異なっている。
波動的性質を表す量として位相[math]\phi[/math]を、粒子的性質を表す量として粒子数[math]n[/math]を考えると、両者のゆらぎの間には次のような不確定性関係がある。
- [math]\Delta n \cdot \Delta \phi \gtrsim 1[/math]
光子数と位相の不確定性より、古典的波動[math]\Delta \phi \approx 0[/math]に近い状態は光子数のゆらぎ[math]\Delta n[/math]が非常に大きい。よってnで指定される量子状態を数多く重ねあわせることで古典的波動に近い状態が得られることが予想される。
ロイ・グラウバーは古典的電磁場[math]\bold{E}\cos \omega t[/math]や[math]\bold{H}\sin \omega t[/math]に最も近い量子力学的状態（コヒーレント状態）の確率分布を、電場[math]\bold{E}[/math]と磁場[math]\bold{H}[/math]の間に存在する不確定性関係
- [math]| \Delta \bold{E}||\Delta \bold{H}|\gtrsim c \hbar \omega / 2\pi V[/math]
(Vは電磁場の平均値を求める際の体積)において等号が成立する条件から求めた。
コヒーレント状態
定義
コヒーレント状態は、光子の消滅演算子の固有状態として定義される。
- [math]\hat{a}|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle[/math]
光子数状態との関係
コヒーレント状態[math]|\alpha\rangle[/math]は、異なる光子数[math]n[/math]の状態(光子数状態または光子数確定状態)
- [math]|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat{a}^\dagger)^n|0\rangle[/math]
を1つの位相で重ね合わせた形で表せる。
- [math]|\alpha\rangle=\exp\bigg[-\frac{1}{2}|\alpha|^2\bigg]\sum_n \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle[/math]
真空状態[math]|0\rangle[/math]は光子数確定状態であり、かつコヒーレント状態でもある。
光子数の確率分布
コヒーレント状態[math]|\alpha\rangle[/math]において光子数を測定したとき測定値が[math]n[/math]個となる確率[math]P_n[/math]は次のようにポアソン分布になることがわかる。
- [math]P_n=|\langle n|\alpha\rangle|^2=\frac{(|\alpha|^2)^n}{n!}\exp[-|\alpha|^2][/math]
よってポアソン分布の性質より、光子数の測定値の平均値と分散は一致する。
- [math]\langle n\rangle(=\langle\alpha|\hat{n}|\alpha\rangle)=\langle(\Delta n)^2\rangle=|\alpha|^2[/math]
コヒーレント状態の光子数分布は、熱平衡における光子数分布と著しく異なっている。しきい値より十分高い励起を与えられたレーザーの出力光の光子数分布は、コヒーレント状態に近くなっている。
変位演算子
変位演算子と呼ばれるユニタリー演算子[math]D(\alpha)=\exp(\alpha\hat{a}^\dagger -\alpha^*\hat{a})[/math]によって、真空状態[math]|0\rangle[/math]からコヒーレント状態[math]|\alpha\rangle[/math]を作ることができる。
- [math]|\alpha\rangle=D(\alpha)|0\rangle=\exp(\alpha\hat{a}^\dagger -\alpha^*\hat{a})|0\rangle[/math]
不確定性
コヒーレント状態において正準座標
- [math]\hat{Q}=\sqrt{\frac{\hbar}{2\omega\epsilon_0}}(\hat{a}+\hat{a}^{\dagger})[/math]
- [math]\hat{P}=i\sqrt{\frac{\hbar\omega\epsilon_0}{2}}(\hat{a}^{\dagger}-\hat{a})[/math]
を測定したとき、その標準偏差[math]\Delta Q[/math]、[math]\Delta P[/math]は以下の関係を満たしている。
- [math]\Delta Q \Delta P=\frac{\hbar}{2}[/math]
よってコヒーレント状態は最小不確定状態である。相空間では、コヒーレント状態は局在している。
一方で光子数と位相の不確定性については、コヒーレント状態は[math]|\alpha|[/math]が小さいときは最小不確定状態にはなっていない。しかし[math]|\alpha|[/math]が大きいとき、つまり光子数が多い場合は光子数と位相の最小不確定状態に近づき、古典的な光に対応するようになる。
過剰完全性
コヒーレント状態は、異なる[math]\alpha[/math]の状態間では直交しない（ただし[math]\alpha[/math]と[math]\beta[/math]の差が大きいときに近似的に直交する）。
- [math]\langle\beta|\alpha\rangle=\exp\bigg[-\frac{1}{2}(|\alpha|^2+|\beta|^2)+\beta^*\alpha\bigg][/math]
しかし以下のような完全系をなす。
- [math]\frac{1}{\pi}\int|\alpha\rangle\langle\alpha|d^2\alpha=1[/math]
このような性質を過剰完全性という。
関連項目
参考文献
- 『物理学辞典』 培風館、1984年
- 松岡 正浩「量子光学」、裳華房、ISBN 978-4785320935 (2000年9月1日)
- 花村 榮一「量子光学」、岩波書店、ISBN 978-4000104388 (1992年5月8日)