シムソンの定理
幾何学におけるシムソンの定理とは三角形ABCの外接円上の点Pから三角形の各辺BC, CA, ABにおろした垂線の足L, N, Mがすべて同一直線上にある（共線関係にある）という定理である。この直線のことをシムソン線或いはシムソンラインと呼ぶ。この定理はロバート・シムソンから名づけられた[1]。しかし、最初に1797年にこの概念を出版したのはウィリアム・ウォレス[2]である。
Contents
シムソン線の性質
- 三角形の1つの頂点をPとすると、Pに対するシムソン線はPから対辺に下ろした垂線になる。またPを外接円の中心に対して頂点と対称の位置に取ると、Pに対するシムソン線は辺の1つと一致する。
- Oを外接円の中心、PとP'を外接円上の点とする。Pに対するシムソン線とP'に対するシムソン線が成す角は、POP'の半分に等しい。特にPとP'が直径の両端にあるとき、2本のシムソン線は垂直に交わる。このときの交点は九点円上にある。
- 三角形のABCの垂心をHとする。Pに対するシムソン線は、PHの中点を通る。
- 共通の外接円を持つ2つの三角形があったとき、Pに対する2本のシムソン線が成す角はPによらず一定の値をとる。
- シムソン線による包絡線はデルトイド（内サイクロイドの一種）となる。このデルトイドをスタイナーのデルトイドという。
証明
初等幾何による証明
AとBは対角点だから∠PAC+∠CBP=180度。
∠PAC>90度の場合、AとBを入れ替えて∠PAC≦90度とする。 ∠PAC=90度の場合,∠CBP=90度,A=M,B=L,Nは直線AB上の点だからL,M,Nは同一直線上にある. ∠PAC<90度とする。
点A,P,N,Mは同一円周上にある。 A,P,B,C はこの順で外接円周上にあるから 直線BAに対してPとCは反対側にある。
∠PAC<90度だから(A→C)と(A→M)の向きが同じになるから ∠PAM=∠PAC…①
直線BAに対してPとMは反対側にある。 Nは直線BA上の点だから 直線NAに対してPとMは反対側にあるから NとAは四角形APNMの対角点となるから ∠PAM+∠MNP=180度…②
点P,L,B,Nは同一円周上にある。 B,C,A,P はこの順で外接円周上にあるから 直線BAに対してPとCは反対側にある。
∠CBP>90度だから 直線BAに対してLとCは反対側にあるから 直線BAに対してLとPは同じ側にある。
Nは直線BA上の点だから 直線BNに対してLとPは同じ側にあるから BNは四角形PLBNの対角線でない辺となるから ∠PNL=∠PBL…③
∠CBP>90度だから (B→L)と(B→C)の向きが180度異なるから∠PBL+∠CBP=180度. ∠PAC+∠CBP=180度だから ∠PBL=∠PAC…④
①,②,③,④から、∠MNP+∠PNL=180度。
したがって、3点L,M,Nは同一直線上にある。Q.E.D.複素数による証明
脚注
- ↑ “Gibson History 7 - Robert Simson”. . 2008閲覧.
- ↑ “Simson Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles”. . 2008閲覧.
参考文献
- 清宮俊雄 『幾何学 発見的研究法』 科学新興新社、1988-03、改訂版。ISBN 978-4-89428-188-2。
- 清宮俊雄 「4.7」『初等幾何学』 裳華房〈基礎数学選書 7〉、2002-08（原著1972-05）。ISBN 978-4-7853-1107-0。 - 2002年にオンデマンド印刷で復刊。
- 高木貞治 『近世数学史談・数学雑談』 共立出版、1996-12、復刻版、90-93。ISBN 978-4-320-01551-7。
関連項目
外部リンク
- テンプレート:高校数学の美しい物語
- Jackson, Frank and Weisstein, Eric W.. “Simson Line”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。
- Simson Line: What is it? - Cut The Knot