ワトソンの五重積
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数学において次の恒等式をワトソンの五重積 (Watson Quintuple Product) という。
- [math]\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})=\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{2m})(1-q^{2m}z)(1-q^{2m-2}z^{-1})(1-q^{4m-2}z^{2})(1-q^{4m-2}z^{-2})[/math]
証明
ヤコビの三重積により
- [math]\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nq^{n(n+1)}z^{n}=\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{2m})(1-q^{2m}z)(1-q^{2m-2}z^{-1})[/math]
- [math]\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nq^{2n^2}z^{2n}=\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{4m})(1-q^{4m-2}z^{2})(1-q^{4m-2}z^{-2})[/math]
オイラーの五角数定理により
- [math]\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nq^{2n(3n-1)}=\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{4m})[/math]
これらを用いて五重積の公式を書き直せば
- [math]\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^mq^{2m(3m-1)}\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})=\sum_{j=-\infty}^{\infty}(-1)^jq^{j(j+1)}z^{j}\sum_{k=-\infty}^{\infty}(-1)^kq^{2k^2}z^{2k}[/math]
となるので、この両辺が等しいことを証明する。左辺は
- [math]\begin{align}L &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}q^{2m(3m-1)+n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}q^{2m(3m-1)+n(3n+1)}z^{3n}-\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}q^{-2m(-3m-1)-n(-3n+1)}z^{3n-1}\qquad({m,n}\mapsto{-m,-n})\\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{k-n}q^{(3n-2k)(3n+1-2k)+2k^2}z^{3n}-\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{k-n}q^{(3n-1-2k)(3n-2k)+2j^2}z^{3n-1}\qquad(m\mapsto{k-n})\\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{3n-k}q^{(3n-2k)(3n+1-2k)+2k^2}z^{3n}+\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{3n-1-k}q^{(3n-1-2k)(3n-2k)+2j^2}z^{3n-1}\\ \end{align}[/math]
さて
- [math]\begin{align}0 &=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}q^{m(m+1)}-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}q^{n(n+1)}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}q^{m(m+1)}\qquad(n\mapsto{-(m+1)})\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}(q^6)^{m(m-1)}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{2n-2}q^{3n^2-3n+2}z^{3n-2}\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m+2n-2}q^{6m(m-1)+3n^2-3n+2}z^{3n-2}\\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{3n-2-k}q^{(3n-2-2k)(3n-1-2k)+2j^2}z^{3n-2}\qquad(m\mapsto{n-k})\\ \end{align}[/math]
であるから
- [math]\begin{align}L=L+0 &=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n-k}q^{(n-2k)(n+1-2k)+2k^2}z^{n}\qquad({3n,3n-1,3n-2}\mapsto{n})\\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{j=-\infty}^{\infty}(-1)^{k+j}q^{j(j+1)+2k^2}z^{j+2k}\qquad({n}\mapsto{j+2k})\\ &=\sum_{j=-\infty}^{\infty}(-1)^{j}q^{j(j+1)}z^{j}\sum_{k=-\infty}^{\infty}(-1)^{k}q^{2k^2}z^{2k}\\ \end{align}[/math]
となり、右辺を得る。