二体問題
二体問題（にたいもんだい、英: Two-body problem）は、古典力学において互いに相互作用を及ぼす2つの点の動きを扱う問題と定義できる。身近な例としては、惑星の周りを回る衛星、恒星の周りを回る惑星、共通重心の周りを回る連星や、原子核の周りを回る古典的な電子などである。
全ての二体問題は、独立した一体問題に帰着させて解くことができる。しかし、三体問題やそれ以上の多体問題は、特別な場合を除いて解くことはできない。
Contents
問題の記述
[math]\boldsymbol{x}_1[/math]と[math]\boldsymbol{x}_2[/math]を2つの物体の位置、[math]m_1[/math]、[math]m_2[/math]を2つの物体の質量とすると、二体問題の目的は全ての時間[math]t[/math]に対して軌跡[math]\boldsymbol{x}_1 (t)[/math]及び[math]\boldsymbol{x}_2 (t)[/math]を確定させることである。
最初の位置を
- [math]\boldsymbol{x}_1 (t=0)[/math] と [math]\boldsymbol{x}_2 (t=0)[/math]、
最初の速さを
- [math]\boldsymbol{v}_1 (t=0)[/math] と [math]\boldsymbol{v}_2 (t=0)[/math]
と置くと、運動の第2法則により
- [math]\boldsymbol{F}_{12}(\boldsymbol{x}_1 ,\boldsymbol{x}_2) = m_1 \ddot{\boldsymbol{x}}_1 \quad \quad \quad (\text{Equation 1})[/math]
- [math]\boldsymbol{F}_{21}(\boldsymbol{x}_1 ,\boldsymbol{x}_2) = m_2 \ddot{\boldsymbol{x}}_2 \quad \quad \quad (\text{Equation 2})[/math]
と書ける。ここで、
- [math]\boldsymbol{F}_{12}[/math] は質量1が質量2から受ける力であり、
- [math]\boldsymbol{F}_{21}[/math] は質量2が質量1から受ける力である。
この連立方程式を加減して、2つの一体問題に帰着させ、解くことができる。式1と式2を足すと、重心の運動を表す方程式になる。式1から式2を引くと、ベクトル[math]\boldsymbol{r} \equiv \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_2[/math]の経時変化となる。2つの解を組み合わせることで、軌跡[math]\boldsymbol{x}_1 (t)[/math]と[math]\boldsymbol{x}_2 (t)[/math]が記述できる。
重心の動き
式1と式2を足すと、
- [math] m_1 \ddot{\boldsymbol{x}}_1 + m_2 \ddot{\boldsymbol{x}}_2 =( m_1 + m_2 ) \ddot{\boldsymbol{x}}_{cm} = \boldsymbol{F}_{12} + \boldsymbol{F}_{21} =0 [/math]
となる。ここで運動の第3法則[math]\boldsymbol{F}_{12} =- \boldsymbol{F}_{21}[/math]を使うと、
- [math]\boldsymbol{x}_{cm} \equiv \frac{m_1 \boldsymbol{x}_1 + m_2 \boldsymbol{x}_2}{m_1 + m_2}[/math]
となり、これは重心の位置を表す。ここから得られる式
- [math]\ddot{\boldsymbol{x}}_{cm} =0[/math]
は、重心の速度[math]\dot{\boldsymbol{x}}_{cm}[/math]と、 全運動量[math]m_1 \dot{\boldsymbol{x}}_1 + m_2 \dot{\boldsymbol{x}}_2[/math]が一定であることを意味する。 つまり、重心の位置と速度は、初期位置と初期速度から一意に決まる。
変位ベクトルの動き
上の式を相対質量で割り、1式から2式を引くと、
- [math] \ddot{\boldsymbol{r}} = \ddot{\boldsymbol{x}}_1 - \ddot{\boldsymbol{x}}_2 = \left( \frac{\boldsymbol{F}_{12}}{m_1} - \frac{\boldsymbol{F}_{21}}{m_2} \right) = \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) \boldsymbol{F}_{12} [/math]
が得られる。ここで、[math]\boldsymbol{r}[/math]は、質量2から質量1への変位ベクトルである。
2つの物体に働く力は[math]\boldsymbol{r}[/math]の関数となり、[math]\boldsymbol{x}_1[/math]と[math]\boldsymbol{x}_2[/math]の絶対値には関係しない。 この式は次のように書ける。
- [math] \mu \ddot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{F}_{12} ( \boldsymbol{x}_1 , \boldsymbol{x}_2 )= \boldsymbol{F} ( \boldsymbol{r} ) [/math]
ここで[math]\mu[/math]は換算質量であり、
- [math]\mu = \frac{1}{\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}} = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}[/math]
である。
[math]\boldsymbol{x}_{cm}(t)[/math]と[math]\boldsymbol{r}(t)[/math]を使うと、軌跡の方程式は
- [math]\boldsymbol{x}_1 (t)= \boldsymbol{x}_{cm} (t)+ \frac{m_2}{m_1 + m_2} \boldsymbol{r} (t)[/math]
- [math]\boldsymbol{x}_2 (t)= \boldsymbol{x}_{cm} (t)- \frac{m_1}{m_1 + m_2} \boldsymbol{r} (t)[/math]
と書ける。