特殊ユニタリ群
テンプレート:Groups n 次の特殊ユニタリ群（とくしゅユニタリぐん、英語: special unitary group）SU(n) とは、行列式が1の n 次ユニタリ行列の為す群の事である。群の演算は行列の積で与えられる。
特殊ユニタリ群 SU(n) はユニタリ群 U(n) の部分群であり、さらに一般線型群 GL(n, C)の部分群である。
特殊ユニタリ群は素粒子物理学において、電弱相互作用のワインバーグ＝サラム理論や強い相互作用の量子色力学、あるいはそれらを統合した標準模型や大統一理論などに出てくる。
定義
- [math]\mathrm{SU}(n) = \{ g \in U(n); \det g=1 \}[/math]
性質
特殊ユニタリ群 SU(n) は、以下のような性質を満たす。
生成子
SU(n) の生成子 T は、トレースが 0 のエルミート行列で表現される。
- [math]\mathrm{tr}\,T_a=0[/math]
- [math]T_a^\dagger=T_a[/math]
基本表現
基本表現、或いは定義表現では、n 次正方行列で表現される。
- [math]T_aT_b=\frac{1}{2n}\delta_{ab} I_n +\frac{1}{2}\sum_{c=1}^{n^2-1} (if_{abc}+d_{abc})T_c [/math]
ここで、 f は構造定数で、全ての添え字に関して反対称であり、d は全ての添え字に関して対称である。
従って、
- [math]\{T_a,T_b\} =T_aT_b+T_bT_a = \frac{1}{n} \delta_{ab} I_n+\sum_{c=1}^{n^2-1} d_{abc}T_c [/math]
- [math][T_a,T_b] =T_aT_b-T_bT_a = i\sum_{c=1}^{n^2-1} f_{abc}T_c[/math]
規格化条件として
- [math]\sum_{c,e=1}^{n^2-1}d_{ace}d_{bce} = \frac{n^2-4}{n}\delta_{ab} [/math]
をとる。
随伴表現
随伴表現、或いはアジョイント表現では、n2−1 次正方行列で表現され、その成分は、
- [math](T_a)_{ij}=-if_{aij} \,[/math]
で与えられる。
SU(2)
SU(2) の元の一般形は
- [math]U = \begin{pmatrix} \alpha & -\bar{\beta} \\ \beta & \bar{\alpha} \\ \end{pmatrix} [/math]
となる。ここで、α, β ∈ C は テンプレート:Mabs2 + テンプレート:Mabs2 = 1 を満たす。
SU(3)
[math]\mathfrak{su}(3)[/math] の生成子 T の基本表現は
- [math]T_a=\frac{1}{2}\lambda_a[/math]
ここで、[math]\lambda[/math] はゲル-マン行列である。
- [math]\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \quad\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \quad\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} [/math]
- [math]\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \quad\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \quad\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} [/math]
- [math]\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \\ \end{pmatrix} \quad\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ \end{pmatrix} [/math]
交換関係は
- [math][T_a,T_b]=i\sum_{c=1}^8 f_{abc}T_c[/math]
となり、構造定数 f は
- [math]f_{123} = 1 \,[/math]
- [math]f_{147} = -f_{156} = f_{246} = f_{257} = f_{345} = -f_{367} = \frac{1}{2} \,[/math]
- [math]f_{458} = f_{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,[/math]
となる。d は
- [math]d_{118} = d_{228} = d_{338} = -d_{888} = \frac{1}{\sqrt{3}} \,[/math]
- [math]d_{448} = d_{558} = d_{668} = d_{778} = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \,[/math]
- [math]d_{146} = d_{157} = -d_{247} = d_{256} = d_{344} = d_{355} = -d_{366} = -d_{377} = \frac{1}{2}. \,[/math]
となる。
他の群との関係
素粒子物理学では、対称性の破れに関連して部分群が重要になる。
- [math]\mathrm{SU}(p+q) \supset \mathrm{SU}(p)\times \mathrm{SU}(q)\times \mathrm{U}(1)[/math]
- [math]\mathrm{SU}(n) \supset \mathrm{O}(n)[/math]
- [math]\mathrm{SU}(2n) \supset \mathrm{USp}(2n)[/math]
- [math]\mathrm{SO}(2n) \supset \mathrm{SU}(n)[/math]
- [math]\mathrm{USp}(2n) \supset \mathrm{SU}(n)[/math]
- [math]\mathrm E_6 \supset \mathrm{SU}(6)[/math]
- [math]\mathrm E_7 \supset \mathrm{SU}(8)[/math]
- [math]\mathrm G_2 \supset \mathrm{SU}(3)[/math]
O(n): 直交群、SO(n): 特殊直交群、USp(2n): シンプレクティック群、E6, E7, G2: 例外型リー群
また、スピン群と以下の同型がある
- [math]\mathrm{Spin}(6) = \mathrm{SU}(4)[/math]
- [math]\mathrm{Spin}(4) = \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)[/math]
- [math]\mathrm{Spin}(3) = \mathrm{SU}(2)=\mathrm{USp}(2)[/math]
関連項目
外部リンク
- Weisstein, Eric W. “Special Unitary Group”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。
- special unitary group in nLab