逆ガウス分布
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逆ガウス分布（ぎゃく-ぶんぷ、英: inverse Gaussian distribution）は、連続型の確率分布である。ワルド分布（英: Wald distribution）とも呼ばれる。
定義と性質
[math][0,\infty)[/math] の範囲の値を取る実数の確率変数 [math]x[/math] が逆ガウス分布にしたがうとき、その分布関数は以下である。
- [math] \Phi\left\{\sqrt{\frac{\lambda}{x}}\left(\frac{x}{\mu}-1\right)\right\}+\exp\left(\frac{2\lambda}{\mu}\right)\Phi\left\{-\sqrt{\frac{\lambda}{x}}\left(\frac{x}{\mu}+1\right)\right\} [/math]
ここで
- [math] \Phi(u)=\int_{-\infty}^u\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)\mathit{dz} [/math]
であり、[math]\mu\gt 0,~\lambda\gt 0[/math] がパラメータである。このときの確率密度関数は以下である。
- [math] f(x)=\left(\frac{\lambda}{2\pi x^3}\right)^{\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{\lambda(x-\mu)^2}{2\mu^2x}\right) [/math]
期待値は [math]\mu[/math]、分散は [math]\frac{\mu^3}{\lambda}[/math] である。
[math]\lambda\rightarrow\infty[/math] で正規分布に近づく。特に平均 0、分散 1 の標準逆ガウス分布 [math]\frac{X-\mu}{\sqrt{\mu^3/\lambda}}[/math] は標準正規分布 [math]N(0,1)[/math] に近づく。
逆ガウス分布のキュムラント母関数 (モーメント母関数の対数) が正規分布のキュムラント母関数の逆関数になっているため、この名がある。
参考文献
- 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
- B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).