Fourier–Motzkin消去法

Fourier–Motzkin消去法（英: Fourier-Motzkin elimination）とは、数理論理学および計算機科学において、一次不等式からなる一階述語論理式の限量子（∀や∃）を除去するアルゴリズム。限定記号消去法（英: Quantifier elimination）の1つ。1826年にジョゼフ・フーリエが発見し、1918年に L. L. Dines が再発見し、1936年に Theodore Motzkin が再々発見した。

アルゴリズム

以下の手順を繰り返し行い、限量子を除去していく。変数の定義域は実数もしくは有理数。

1. 以下の置き換えを行う。
   1. 等式や不等式に ￢ がかかる物は反転させる。
   2. a ≧ b は b ≦ a へ
   3. a ＞ b は b ＜ a へ
   4. a ＝ b は (a ≦ b) ∧ (b ≦ a) へ
   5. ∀x. P(x) は ￢ ∃x. ￢ P(x) へ
2. 下記簡略化は随時行う。
   1. 常に成り立つ もしくは 常に不成立な不等式は真や偽に置き換える。
   2. 真や偽が ∧ や ∨ や ￢ に付く場合は適切に論理式を簡略化する。
   3. ∃x. P(x) の形式において、P(x) が x を使用してなければ、∃x. を取り除く。
3. ∃x. P(x) の形式で、P(x) に限量子が出てこない物を探し、P(x) を選言標準形に変換する。
4. ∃x. (P(x) ∨ Q(x)) ⇔ (∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x)) の変換を行う。
5. Q が x を使用していない場合、∃x. (P(x) ∧ Q) ⇔ (∃x. P(x)) ∧ Q の変換を行う。
6. 下記公式を使い、限量子を除去する。

   [math]\exists x. \left(\bigwedge_h c_h \le a_h x \right) \land \left(\bigwedge_i c_i \lt a_i x \right) \land \left(\bigwedge_j b_j x \le d_j \right) \land \left(\bigwedge_k b_k x \lt d_k \right)[/math]

   [math]\Leftrightarrow \left(\bigwedge_{h,j} b_j c_h \le a_h d_j \right) \land \left(\bigwedge_{h,k} b_k c_h \lt a_h d_k \right) \land \left(\bigwedge_{i,j} b_j c_i \lt a_i d_j \right) \land \left(\bigwedge_{i,k} b_k c_i \lt a_i d_k \right)[/math]

上記は一般的な形式だが、より分かりやすく、2つの不等式の場合に書き下すと以下の通り。

[math](\exists x. c \le ax \land bx \le d) \Leftrightarrow bc \le ad[/math]

[math](\exists x. c \lt ax \land bx \le d) \Leftrightarrow bc \lt ad[/math]

[math](\exists x. c \le ax \land bx \lt d) \Leftrightarrow bc \lt ad[/math]

[math](\exists x. c \lt ax \land bx \lt d) \Leftrightarrow bc \lt ad[/math]

具体例

[math]\forall i. (1 \le i \le n \to i \neq n)[/math] に対して、Fourier–Motzkin消去法を使用し、簡略化する。

[math]\forall i. (1 \le i \le n \to i \neq n)[/math]
[math]\Leftrightarrow\forall i. ((\lnot (1 \le i \le n)) \lor (i \neq n))[/math]
[math]\Leftrightarrow\lnot \exists i. \lnot((\lnot (1 \le i \le n)) \lor (i \neq n))[/math]
[math]\Leftrightarrow\lnot \exists i. (1 \le i \le n) \land (i = n)[/math]
[math]\Leftrightarrow\lnot \exists i. (1 \le i) \land (i \le n) \land (i = n)[/math]
[math]\Leftrightarrow\lnot \exists i. (1 \le i) \land (i \le n) \land (i \le n) \land (n \le i)[/math]
[math]\Leftrightarrow\lnot \exists i. (1 \le i) \land (i \le n) \land (n \le i)[/math]
[math]\Leftrightarrow\lnot \exists i. (1 \le i) \land (n \le i) \land (i \le n)[/math]
ここで公式を使用する。
[math]\Leftrightarrow\lnot \exists i. (1 \le n) \land (n \le n)[/math]
[math]\Leftrightarrow\lnot \exists i. (1 \le n)[/math]
[math]\Leftrightarrow\lnot (1 \le n)[/math]
[math]\Leftrightarrow 1 \gt  n[/math]
[math]\Leftrightarrow n \lt  1[/math]

整数への拡張

変数の定義域を整数にする場合の拡張を William Pugh が1992年に発表している。オメガテストと名付けた判定条件を追加している。

また、1972年に D. C. Cooper がFourier–Motzkin消去法の直接の拡張ではないが、整数変数に対する限定記号消去法であるCooper法を発表している。

多項式の場合

一次式ではなく、より一般的な多項式の場合 George E. Collins が1975年に発表した Cylindrical Algebraic Decomposition (CAD) を使用することにより、限定記号消去が出来る。